4. Übungsblatt zur Vorlesung „Logik in der Informatik“

Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
Fachgebiet Theoretische Informatik, TU Ilmenau
4. Übungsblatt zur Vorlesung „Logik in der Informatik“
Besprechung am 29. Mai 2013
Direkte Produkte und disjunkte Vereinigungen von Strukturen
Es sei τ = (R, ar) eine relationale Signatur. Das direkte Produkt zweier τ -Strukturen A und B
ist die τ -Struktur A × B mit kA × Bk = kAk × kBk und
RA×B =
(a1 , b1 ), . . . , (ar , br ) (a1 , . . . , ar ) ∈ RA , (b1 , . . . , br ) ∈ RB .
für alle R ∈ R mit r = ar(R). Die disjunkte Vereinigung zweier τ -Strukturen A und B ist die
τ -Struktur A ] B mit kA ] Bk = kAk ] kBk und
RA]B = RA ] RB
für alle R ∈ R.
Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass sich die Grapheigenschaften „Pfad zu sein“ bzw. „Kreis zu sein“ nicht in der
Logik 1. Stufe ausdrücken lassen. Beweisen Sie also:
(a) Es gibt keinen FO-Satz Φ, so dass für alle ungerichteten Graphen G gilt: G |= Φ genau dann,
wenn G ein Pfad ist, d.h. wenn es ein n ≥ 1 mit G ∼
= Pn gibt, wobei Pn der ungerichtete
Pfad auf n Knoten ist.
(b) Es gibt keinen FO-Satz Ψ, so dass für alle ungerichteten Graphen G gilt: G |= Φ genau dann,
wenn G ein Kreis ist, d.h. wenn es ein n ≥ 1 mit G ∼
= Cn gibt, wobei Cn der ungerichtete
Kreis auf n Knoten ist.
Hinweis: Versuchen Sie in Teilaufgabe (a) zunächst zu zeigen, dass es für jedes m ≥ 0 ein n ≥ 0
mit Pn ≡m Pn ] Cn gibt. Verfahren Sie in Teilaufgabe (b) ähnlich.
Aufgabe 2
Es sei τ eine relationale Signatur. Zeigen Sie, dass ≡m für jedes m ≥ 0 eine Kongruenz bzgl. des
direkten Produkts und der disjunkten Vereinigung von τ -Strukturen ist. Beweisen Sie also, dass
für alle τ -Strukturen A und A0 sowie B und B 0 mit A ≡m A0 sowie B ≡m B 0 gilt:
(a) A × B ≡m A0 × B 0 .
(b) A ] B ≡m A0 ] B 0 .
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Aufgabe 3
Für m, n ≥ 1 sei der ungerichtete Graph Gm,n = (Vm,n , Em,n ) durch
Vm,n = { (i, j) | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n }
und
(i, j), (i0 , j 0 ) ∈ Em,n
⇐⇒
(i = i0 und |j − j 0 | = 1) oder (|i − i0 | = 1 und j = j 0 )
für alle (i, j), (i0 , j 0 ) ∈ Vm,n definiert. Graphen dieser Gestalt bezeichnet man als (ungerichtete)
Gitter.
Zeigen Sie mithilfe von Aufgabe 2, dass es keinen FO-Satz Φ gibt, so dass für alle m, n ≥ 1 gilt:
Gm,n |= Φ genau dann, wenn m = n.
Die Logik Σ01
Für eine feste Signatur ist Σ01 die Menge aller FO-Formeln der Gestalt ∃x1 . . . ∃xm : ϕ mit m ≥ 0
und quantorenfreiem ϕ. (Vergleichen Sie dies mit Σ11 .)
Aufgabe 4
Es seien A und B Strukturen über derselben Signatur und m ≥ 0. In der Vorlesung haben Sie
gesehen, dass der Verteidiger genau dann eine Gewinnstrategie für m Runden im EhrenfeuchtFraïssé-Spiel auf A und B besitzt, wenn A und B dieselben FO-Sätze Φ mit qr(Φ) ≤ m erfüllen.
Konstruieren Sie nun jeweils ein Spiel auf A und B mit folgender Eigenschaft:
(a) Der Verteidiger besitzt genau dann eine Gewinnstrategie, wenn A und B dieselben FO-Sätze
erfüllen.
(b) Der Verteidiger besitzt genau dann eine Gewinnstrategie für m Runden, wenn A und B
dieselben Σ01 -Sätze Φ mit qr(Φ) ≤ m erfüllen.
(c) Der Verteidiger besitzt genau dann eine Gewinnstrategie, wenn A und B dieselben Σ01 -Sätze
erfüllen.
(d) Der Verteidiger besitzt genau dann eine Gewinnstrategie für m Runden, wenn A und B
dieselben SO-Sätze Φ mit qr(Φ) ≤ m erfüllen.
(e) Der Verteidiger besitzt genau dann eine Gewinnstrategie, wenn A und B dieselben SO-Sätze
erfüllen.
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