Humboldt-Universität zu Berlin SoSe 2007 Institut für Informatik

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Informatik
Logik und Datenbanktheorie
Prof. Nicole Schweikardt
SoSe 2007
7. Übung Logik und Komplexität
Abgabe: Mittwoch, den 6.6.2007 zu Beginn der Vorlesung
Übungstermin: Montag, den 18.6.2007
Aufgabe 1:
(5 Punkte)
Zeigen Sie, dass für alle m ∈ N, alle Signaturen σ und alle σ-Strukturen A und B gilt: Genau einer
der beiden Spieler hat eine Gewinnstrategie im m-Runden EF-Spiel auf A und B.
Hinweis: Per Induktion nach m ist der Beweis einfach und kurz.
Aufgabe 2:
(5 Punkte)
Beweisen Sie die Richtung “=⇒” von Satz 3.12, d.h. zeigen Sie, dass für alle m > 1 und alle
endlichen linearen Ordnungen A = (A, <A , 0A , maxA ) und B = (B, <B , 0B , maxB ) gilt: Falls
|A| < |B| und |A| 6 2m , so hat Spoiler eine Gewinnstrategie im m-Runden EF-Spiel auf A und B.
Aufgabe 3:
(5 Punkte)
Sei σ eine Signatur und seien A und B zwei σ-Strukturen.
A B
• Die Struktur A × B ist die σ-Struktur mit Universum A × B, Konstanten cA×B
:= (c , c ) (f.a.
A×B
Konstantensymbole c ∈ σ) und Relationen R
:= { (a1 , b1 ), . . , (ar , br ) : (a1 , . . , ar ) ∈
RA und (b1 , . . , br ) ∈ RB } (f.a. Relationssymbole R ∈ σ mit r := ar(R)).
• Falls σ keine Konstantensymbole enthält und A und B disjunkt sind, so ist A t B die σ-Struktur
mit Universum A ∪ B und Relationen RAtB := RA ∪ RB (f.a. R ∈ σ).
Es sei m ∈ N, und A1 , A2 , B1 , B2 seien σ-Strukturen.
Nutzen Sie die EF-Spiel-Charakterisierung von ≡m , um folgendes zu zeigen:
(a) Falls A1 ≡m B1 und A2 ≡m B2 , so auch A1 × A2 ≡m B1 × B2 .
(b) Falls σ keine Konstantensymbole enthält und A1 ∩ A2 = ∅ und B1 ∩ B2 = ∅, so gilt:
Falls A1 ≡m B1 und A2 ≡m B2 , so auch A1 t A2 ≡m B1 t B2 .
Aufgabe 4:
(5 Punkte)
Sei σ := {Sv , Sh } mit zwei 2-stelligen Relationssymbolen Sv und Sh . Für k, ` ∈ N>1 ist das
(k×`)-Gitter Gk,` die σ-Struktur mit Universum {1, . . , k} × {1, . . , `} und Relationen
G
Sv k,` := { (i, j), (i+1, j) | 1 6 i < k, 1 6 j 6 `}
G
Sh k,` := { (i, j), (i, j+1) | 1 6 i 6 k, 1 6 j < `}.
Zeigen Sie, dass es keinen FO[σ]-Satz ϕ gibt, so dass für alle k, ` ∈ N>1 gilt:
Gk,` |= ϕ ⇐⇒ k = `.
Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 3.