¨Ubungen zur Vorlesung Verifikation unendlicher Systeme

Aufgabenblatt 4
Sommersemester 2008
Markus Lohrey
Übungen zur Vorlesung Verifikation unendlicher Systeme
1. Zeigen Sie, dass (Q, ≤) eine automatische Struktur ist.
Hinweis: Sie können den Satz von Cantor benutzen: Jede lineare Ordnung (A, ≤) mit den folgenden Eigenschaften ist isomorph zu (Q, ≤).
• A ist abzählbar-unendlich.
• A hat kein größtes sowie kein kleinstes Element: ∀a ∈ A∃b, c ∈
A:b<a<c
• A ist dicht: ∀a, b ∈ A : a < b → ∃c ∈ A : a < c < b
2. Büchi-automatische Strukturen sind analog zu automatischen Strukturen definiert, nur dass unendliche Wörter zur Repräsentation von Elementen einer Struktur verwendet werden, und die Grundmenge sowie
alle Relationen der Struktur durch Büchi-Automaten definiert werden
(die Konvolution von zwei ω-Wörtern w = a1 a2 · · · und v = b1 b2 · · ·
ist das ω-Wort w ⊗ v = (a1 , b1 )(a2 , b2 ) · · · ).
Zeigen Sie, dass die Struktur (2N , ∩, ∪, α) Büchi-automatisch ist. Hierbei werden ∩ und ∪ als 3-stellige Relationen aufgefasst und α ist die
binäre Relation mit: α(A, B) genau dann, wenn (A \ B) ∪ (B \ A)
endlich ist.
3. Sei B ein synchroner 2-Bandautomat mit K(B) ⊆ Σ∗ × Γ∗ . Konstruieren Sie einen endlichen Automaten über dem Alphabet Σ, so dass
gilt:
L(A) = {v ∈ Σ∗ | es existieren ∞ viele w ∈ Γ∗ mit (v, w) ∈ K(B)}
4. FO∞ (S) ist die Erweiterung von Logik 1. Stufe über der Signatur S
mit der zusätzlichen Regel: Wenn ϕ eine FO∞ (S) ist, und x ∈ X eine
Variable ist, dann ist auch ∃∞ x ϕ eine FO∞ (S)-Formel. Die Semantik
von ∃∞ ist wie folgt definiert für jede Struktur (A, IS , IX ):
(A, IS , IX ) |= ∃∞ x ϕ ⇐⇒ |{a ∈ A | (A, IS , IX ∪ {(x, a)}) |= ϕ}| = ∞
Sei nun A eine beliebige automatische Struktur. Zeigen Sie, dass es
entscheidbar ist, ob A |= ϕ für eine gegebene FO∞ (S)-Formel ϕ gilt.