¨Ubungen zur Vorlesung Verifikation unendlicher Systeme

Aufgabenblatt 4
Sommersemester 2010
Markus Lohrey
Übungen zur Vorlesung Verifikation unendlicher Systeme
1. Zeigen Sie, dass die MSO-Theorie von (Q, ≤) entscheidbar ist.
Hinweis: Sie können Rabins Baumtheorem in Verbindung mit MSOInterpretationen verwenden.
2. Büchi-automatische Strukturen sind analog zu automatischen Strukturen definiert, nur dass unendliche Wörter zur Repräsentation von Elementen einer Struktur verwendet werden, und die Grundmenge sowie
alle Relationen der Struktur durch Büchi-Automaten definiert werden
(die Konvolution von zwei ω-Wörtern w = a1 a2 · · · und v = b1 b2 · · ·
ist das ω-Wort w ⊗ v = (a1 , b1 )(a2 , b2 ) · · · ).
Zeigen Sie, dass die Struktur (2N , ∩, ∪, α) Büchi-automatisch ist. Hierbei werden ∩ und ∪ als 3-stellige Relationen aufgefasst und α ist die
binäre Relation mit: α(A, B) genau dann, wenn (A \ B) ∪ (B \ A)
endlich ist.
3. Sei B ein synchroner 2-Bandautomat mit K(B) ⊆ Σ∗ × Γ∗ . Konstruieren Sie einen endlichen Automaten über dem Alphabet Σ, so dass
gilt:
L(A) = {v ∈ Σ∗ | es existieren ∞ viele w ∈ Γ∗ mit (v, w) ∈ K(B)}
4. FO∞ (S) ist die Erweiterung von Logik 1. Stufe über der Signatur S
mit der zusätzlichen Regel: Wenn ϕ eine FO∞ (S) ist, und x ∈ X eine
Variable ist, dann ist auch ∃∞ x ϕ eine FO∞ (S)-Formel. Die Semantik
von ∃∞ ist wie folgt definiert für jede Struktur (A, IS , IX ):
(A, IS , IX ) |= ∃∞ x ϕ ⇐⇒ |{a ∈ A | (A, IS , IX ∪ {(x, a)}) |= ϕ}| = ∞
Sei nun A eine beliebige automatische Struktur. Zeigen Sie, dass es
entscheidbar ist, ob A |= ϕ für eine gegebene FO∞ (S)-Formel ϕ gilt.
5. Sei (A, ≤) eine Quasiordnung. Wie in der Vorlesung definieren wir die
Relation < durch: a < b ⇐⇒ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a. Zeigen Sie, dass <
transitiv ist.
6. Ein Vektoradditionssystem S mit Zuständen (der Dimension k) ist eine
endliche Menge von Tupeln (`, p, r, q) wobei gilt: `, r ∈ Nk und p, q ∈ Q.
Hierbei ist Q eine endliche Menge von Zuständen. Für (u, p), (v, q) ∈
Nk × Q schreiben wir (u, p) ⇒S (v, q), falls eine Regel (`, p, r, q) ∈ S
existiert mit u ≥ ` und v = u − ` + r.
Konstruieren Sie aus einem Vektoradditionssystem S mit Zuständen
ein normales Vektoradditionssystem, welches S auf natürliche Weise
simuliert.
7. Das Überdeckungsproblem für Vektoradditionssysteme mit Zuständen
ist das folgende Problem:
EINGABE: Ein Vektoradditionssysteme S mit Zuständen (aus Q),
sowie (u, p), (v, q) ∈ Nk × Q
FRAGE: Existiert ein Vektor x ≥ v mit (u, p) ⇒∗S (x, q)?
Zeigen Sie, dass dieses Problem entscheidbar ist.