Klausur zur Theoretischen Physik II Quantenmechanik (SS 06

Klausur zur Theoretischen Physik II
Quantenmechanik (SS 06) 13.07.2006
17hct-19hct
Jeder Aufgabenteil 1/2 Punkt ⇒ 5 Punkte
K1
1. Schreiben Sie das Skalarprodukt zweier komplexer Funktionen ψ(x) und φ(x)
∈ L2 (R) hin.
2. Sei ψ(x) := c e−
|x|
+ikx
ξ
mit ξ, k ∈ R+ die Wellenfunktion eines Teilchens auf
der reellen Achse. Bestimmen Sie c so, daß ψ in L2 (R) auf 1 normiert ist.
3. Geben Sie den Bahndrehimpulsoperator in Impulsdarstellung an.
4. Es sei [Â , B̂] = 0. Vereinfachen Sie e−Â eÂ+B̂ so weit wie möglich.
5. 2 nicht wechselwirkende identische Bosonen befinden sich in den
orthonormalen Zuständen ψ1 (r) und ψ2 (r). Schreiben Sie die Wellenfunktion
ψ(r1 , r2 ) für das Gesamtsystem hin.
6. Eine Observable  = n∈I an |φn φn | habe ein diskretes, nicht entartetes
Spektrum {an , n ∈ I}. Sei |ψ irgendein Zustand im Hilbertraum der
Observablen, in dem das System vor der Messung präpariert ist.
(a) Welche Meßergebnisse für die Observable sind möglich?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten sie auf?
(c) Wie sieht der Zustand des Systems unmittelbar nach erfolgter Messung
aus?
7. Seien |ψi , i = 1, 2 Eigenzustände des Hamiltonoperators Ĥ mit Eigenwerten
Ei . Zur Zeit t = 0 gibt Ihnen jemand den Zustand c1 |ψ1 + c2 |ψ2 vor. Wie
sieht dann |ψ(t) aus?
√
8. Sei e = (ex + iey )/ 2 der Polarisationszustand eines Photons, welches auf
einen Polfilter trifft, welcher in y-Richtung linear polarisiertes Licht
durchläßt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert das Photon den Filter?
Rückseite beachten!!!
K2
3 Punkte
Sei ρ :=
i∈I
pi |ψi ψi | mit normierten, aber nicht notwendigerweise
orthogonalen Zuständen |ψi und positiven pi . Unter welchen weiteren
Bedingungen ist ρ ein Dichteoperator?
3+ 52 + 12 =6 Punkte
K3:
Betrachten Sie stationäre Lösungen für ein
massives nichtrelativistisches Teilchen in einer
Raumdimension in dem rechts abgebildeten
Potentialverlauf V (x) = V0 Θ(−x) mit
V0 > 0 und Θ(x) der Heaviside Stufenfunktion.
1. Machen Sie einen Ansatz für
V
00000000000
11111111111
00000000000000
11111111111111
I
II
00000000000
11111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000
11111111111
00000000000000
11111111111111
Vo
0000000000011111111111111
11111111111
00000000000000
00000000000
11111111111
00000000000000
11111111111111
0000000000011111111111111
11111111111
00000000000000
0000000000011111111111111
11111111111
00000000000000
00000000000
11111111111
00000000000000
11111111111111
0000000000000000000000000
11111111111
11111111111111
00000000000
1111111111100000000000000
11111111111111 x
die stationäre Lösung und geben Sie die
Anschlußbedingungen an.
2. Berechnen Sie den Reflektions- und Transmissionskoeffizienten als Funktion von E und
V0 für eine von links einlaufende ebene Welle mit Energie E > V0 .
3. Begründen Sie kurz, warum Sie von links einlaufende ebene Wellen der Energie E ≤ V0
nicht zu betrachten brauchen.
1+ 52 + 12 =4 Punkte
K4
Betrachten Sie einen Spin 1/2 im magnetischen Feld mit Hamiltonoperator
ˆ
· S.
Ĥ = B
1. Zeigen Sie, daß die Matrixdarstellung von Ĥ in der Eigenbasis von Ŝz zu
⎛
⎞
Bz
Bx − iBy
⎝
⎠
Bx + iBy
−Bz
proportional ist.
2. Bestimmen Sie Eigenwerte und normierte Eigenvektoren von Ĥ.
3. Geben Sie die unitäre Transformationsmatrix U an, welche Ĥ via U † ĤU
diagonalisiert.
1+ 52 + 52 =6 Punkte
K5
â, ↠seien Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren, welche über Impulsoperator
p̂ und Ortsoperator q̂ des harmonischen Oszillators definiert sind. Betrachten Sie
nun den transformierten Operator
b̂ := µâ + λ↠; λ, µ ∈ C
1. Berechnen Sie b̂† , sowie n̂b := b̂† b̂ ausgedrückt durch â und ↠.
2. Welche Bedingungen müssen die komplexen Zahlen µ und λ erfüllen, damit
[b̂ , b̂† ] = [â , ↠] ist? Geben Sie die allgemeine Lösung dieser Bedingung an.
Berechnen Sie für diesen Fall die Transformationsmatrix M, definiert durch
⎛ ⎞
⎛ ⎞
b̂
â
⎝ ⎠=M⎝ ⎠ ;
b̂†
â†
Zeigen Sie, daß M nicht unitär ist, aber daß
⎛
⎞
⎛
⎞
0 1
0 1
⎠M = ⎝
⎠
MT ⎝
−1 0
−1 0
gilt, wobei T für Transposition steht.
3. Schreiben Sie den Hamiltonoperator des transformierten harmonischen
Oszillators h̄ω(b̂† b̂ + 12 ) ausgedrückt durch die alten Orts- und
Impulsoperatoren q̂ und p̂ hin.
Hinweis: es taucht ein Wechselwirkungsterm proportional zu {q̂ , p̂} := q̂ p̂ + p̂q̂
auf.
Rückseite beachten!!!
1
+6+ 32 =8
2
K6
Punkte
Seien â und ↠Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren mit dem Kommutator
[↠, â] = −1l, und sei {|n ; n ∈ IN} orthonormale Eigenbasis von n̂ := ↠â mit
√
n̂ |n = n |n und ↠|n = n + 1 |n + 1.
1. Zeigen Sie, daß in Diracschreibweise ↠=
∞ √
n=0
n + 1 |n + 1 n| ist.
2. Bei Einschränkung auf den Unterhilbertraum, aufgespannt durch
{|n ; 0 ≤ n ≤ 2l} für ein l ∈ IN+ , schreiben Sie die Operatoren
L̂z := h̄(↠â − l1l)
L̂+ := h̄↠2l1l − ↠â
L̂− := h̄ 2l1l − ↠â â
in Diracschreibweise mit der Eigenbasis von n̂, und zeigen Sie damit, daß die
Operatoren L̂z , L̂+ und L̂− die Kommutatorrelationen von
Drehimpulsoperatoren haben.
Hinweis: Spektralzerlegung von
√
2l1l − ↠â aus Spektralzerlegung von 2l1l − ↠â
ermitteln.
ˆ 2 = h̄2 l(l + 1)1l gilt.
3. Zeigen Sie, daß L
3
+ 32 +1=4
2
K7
Punkte
Sei ψ(r) eine quadratintegrable Funktion auf dem R3 und seien rˆ = (x̂, ŷ, ẑ) sowie
pˆ = (p̂x , p̂y , p̂z ) hermitesch vorausgesetzt.
1. Berechnen Sie die hermitesch adjungierten zu x̂p̂x , i[x̂2 , p̂x ] und
{x̂m , p̂nx } := x̂m p̂nx + p̂nx x̂m ; setzen Sie, wenn möglich, jeweils das hermitesch
adjungierte des Operators mit dem Operator selbst in Beziehung.
2. Sei der Operator D[a] für a ∈ R3 definiert durch D[a]ψ(r) = ψ(r + a).
Bestimmen Sie D[a]† aus der Definition des hermitesch adjungierten
Operators auf dem Raum L2 (R3 ) der quadratintegrablen Funktionen, und
setzen sie diesen mit D in Beziehung.
3. Sei der Operator P definiert durch Pψ(r) = ψ(−r). Bestimmen Sie P † aus
der Definition des hermitesch adjungierten Operators auf dem Raum L2 (R3 )
der quadratintegrablen Funktionen, und setzen sie diesen mit P in Beziehung.
: 36 Punkte. Zum Bestehen der Klausur reichen 12 Punkte. Viel Erfolg!