Übungsblatt 5

ÜBUNGSBLATT 5 ZU
Theoretische Physik II: Quantenmechanik
Prof. Günter Sigl
II. Institut für Theoretische Physik der Universität Hamburg
Luruper Chaussee 149
D-22761 Hamburg
Germany
email: [email protected]
tel: 040-8998-2224
Abgabetermin: 18.05.2010 vor den Übungen
1. (4 Punkte) Translationsoperator
Zeigen Sie, daß wenn |ξi Eigenzustand zu x̂ mit Eigenwert ξ ist, so ist auch
|ψi = exp [iap̂/~] |ξi = exp [a∇] |ξi
Eigenzustand zu x̂. Geben Sie den zugehörigen Eigenwert an.
2. (8 Punkte) Quantenmechanisches Zweiniveausystem
Betrachten Sie ein Quantensystem, das sich in zwei möglichen orthonormalen Zuständen |1i
und |2i mit den Energien E1 bzw. E2 befinden kann. Das System kann ferner mit einer reellen
Wahrscheinlichkeitsamplitude W zwischen den beiden Zuständen tunneln. Der Hamiltonoperator dieses Systems ist dann durch
H = E1 |1i h1| + E2 |2i h2| + W (|1i h2| + |2i h1|)
gegeben.
a) Geben Sie H als 2 × 2-Matrix sowie einen beliebigen Zustand |ψ(t)i in der Basis der
Zustände |1i und |2i an. Lösen Sie die Eigenwertgleichung für H.
bitte wenden
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b) Zeigen Sie, daß für E1 = E2 = E die zeitabhängige Schrödingergleichung in dieser Darstellung auf die gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen
d
[c1 (t) + c2 (t)] = (E + W ) [c1 (t) + c2 (t)]
dt
d
i~ [c1 (t) − c2 (t)] = (E − W ) [c1 (t) − c2 (t)]
dt
i~
führt, wobei ci = hi|ψ(t)i für i = 1, 2 ist.
c) Lösen Sie das Differentialgleichungssystem aus b) mit der Anfangsbedingung, daß sich das
System zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand |1i befindet, |ψ(t = 0)i = |1i.
d) Diskutieren Sie die Zeitabhängigkeit der Wahrscheinlichkeiten |c1 (t)|2 , |c2 (t)|2 , sowie
|c1 (t) + c2 (t)|2 und ihre physikalische Bedeutung anhand einer Skizze.
3. (8 Punkte) Delta-Funktionspotential
Bestimmen Sie die normierte Wellenfunktion und den Energieeigenwert des gebundenen Zustandes im eindimensionalen Potential V (x) = −αδ(x). Hinweis: Um die Randbedingung für
die Ableitungen der Wellenfunktion im Punkt x = 0 zu finden, integrieren Sie die Schrödingergleichung über eine kleine Umgebung von x = 0.
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