Ubungen zur Quantenmechanik

Übungen zur Quantenmechanik
Theoretische Physik III
Blatt 3
SS 2017
A. Alvermann & H. Fehske
Abgabe: Dienstag, 25.04.17 vor der Vorlesung
Aufgabe 7
Unschärfe
2
Berechnen Sie für eine Gauß-Wellenfunktion ψ(x) ∝ e−ax +bx , mit a, b ∈ C, die Erwartungswerte hxi, hpi und Varianzen ∆x, ∆p von Ort und Impuls, und überprüfen Sie die Unschärferelation! Wann wird das Unschärfeprodukt minimal?
Hinweis: Normierung nicht vergessen.
Aufgabe 8
Bohr-Sommerfeld Quantisierung – Energiespektrum
Für ein Teilchen der Masse m in einer eindimensionalen Potentialmulde U (x) lautet die Bohr-Sommerfeld
a
Quantisierungsregel
b
U(x)
Z
b
a
p
1
dx 2m[En − U (x)] = ~π(n + ) ,
2
(1)
E
wobei a und b die energieabhängigen Umkehrpunkte der
Bewegung sind (siehe nebenstehende Skizze) und n eine
natürliche Zahl einschließlich der Null.
Bestimmen Sie das Energiespektrum En für die gebundenen Zustände
a) eines linearen Oszillators mit der Frequenz ω und
b) des Potentials U (x) = −U0 cosh−2 (x/a).
Hinweis: Im Fall b) führt die Substitution sinh(x/a) = κ sin t mit κ =
einem lösbaren Integral.
Aufgabe 9
p
(U/|En |) − 1 zu
Etwas Formales zur zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung
a) Gegeben sei die eindimensionale zeitunabhängige Schrödinger Gleichung für ein beliebiges Potential V (x) und eine Lösung ψ(x) mit der Eigenschaft
ψ(x) → 0 für x → ±∞ .
Zeigen Sie, dass ψ(x) nicht-entartet und damit bis auf einen Phasenfaktor exp(iδ) reell
ist.
Hinweis: Nehmen Sie an, es gäbe zwei entartete Lösungen
ψ1 (x), ψ2 (x), untersuchen Sie
ψ1 (x) ψ2 (x) 0
die Ableitung W (x) der Determinante W (x) = det ψ0 (x) ψ0 (x) , und — E — erhalten
1
2
Sie einen Widerspruch.
b) Betrachten Sie ein eindimensionales Potential V (x), das um
x = 0 symmetrisch ist, und das dazugehörige Potential

 V (x) für x > 0
Ṽ (x) =
.
 ∞
für x ≤ 0
Finden Sie die Beziehung, die das diskrete Spektrum von
Ṽ (x), also die gebundenen Zustände des Potentials Ṽ (x),
mit dem diskreten Spektrum von V (x) verknüpft.
V(x)
x=0
x