Quantenmechanik I Wintersemester 2013/14 Aufgabenblatt 9

20. Dezember 2013
Quantenmechanik I
Wintersemester 2013/14
Aufgabenblatt 9 / Probeklausur
Die Aufgaben dieses Aufgabenblatts sollen einen Eindruck des Schwierigkeitsgrads der Klausur vermitteln. Versuchen Sie, die Aufgaben unter realistischen
Bedingungen in 120 Minuten zu lösen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen.
Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!
QMI9.1: Die normierten Zustände |1i und |2i seien Eigenzustände des selbstadjungierten Operators A zu den Eigenwerten a1 und a2 , wobei a1 6= a2 .
Der Hamiltonoperator des Systems ist gegeben durch
H = δ |1ih2| + δ |2ih1| ,
wobei δ eine reelle Zahl ist.
(a) Zeigen Sie, dass |1i und |2i orthogonal sind, und dass sie keine
Energieeigenzustände sind.
(b) Finden Sie Ausdrücke für die normierten Energieeigenzustände |Ψ1 i,
|Ψ2 i und berechnen Sie die zugehörigen Energieeigenwerte E1 und
E2 .
(c) Das System befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand |1i. Leiten Sie einen Ausdruck für den Zustandsvektor zu einem späteren
Zeitpunkt t > 0 ab.
(d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei einer A–Messung zum
Zeitpunkt t den Eigenwert a2 vorzufinden.
(e) Berechnen Sie den Erwartungswert des Operators A in Abhängigkeit
von t.
(f) Kennen Sie ein konkretes physikalisches System, das mit diesem
Modell vergleichbar ist? Erläutern Sie die Analogie
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QMI9.2: Ein Teilchen der Masse m (in einer Raumdimension) sei einem
Delta-Potential V (x) = −αδ(x) ausgesetzt. α ist hierbei eine positive
dimensionsbehaftete Größe.
(a) Stellen Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in der Ortsdarstellung auf und integrieren Sie sie von x = − bis +. Zeigen
Sie durch den Grenzübergang → 0, dass die erste Ableitung der
Eigenfunktion φ(x) an der Stelle x = 0 eine von α, m und φ(0)
abhängende Unstetigkeit aufweist. Was muss hingegen für φ(x) an
der Stelle x = 0 gelten?
(b) Nun sollen die gebundenen Zustände gefunden werden, also diejenigen mit Energie E < 0. Lösen Sie hierfür die Schrödinger-Gleichung
für x 6= 0 und verwenden Sie die Anschlussbedingungen aus Teilaufgabe a). Beachten Sie, dass die Wellenfunktion normiert sein muss.
Geben Sie die möglichen Energie-Eigenwerte und die zugehörigen
normierten Eigenfunktionen an. Wie viele gebundene Zustände gibt
es also?
(c) Wie viele gebundene Zustände gäbe es für ein repulsives DeltaPotential, also für α < 0?
(d) Berechnen Sie die Orts- und Impulsunschärfe h(∆x)2 i und h(∆p)2 i
und überprüfen Sie die Heisenbergsche Unschärferelation. (Hinweis:
Für die Berechnung von hp2 i kann die Schrödinger-Gleichung hilfreich sein.)
QMI9.3: Betrachten Sie folgenden Hamilton-Operator:
~2
L
~ ·L
~
+ γB
H=
2I
(I, γ = const.)
~ ist hierbei der Bahndrehimpulsoperator und B
~ ein konstantes VektorL
~
feld, welches zunächst in z-Richtung zeige, B = (0, 0, b).
~ 2 und Lz vertauscht. Was impliziert dies
(a) Zeigen Sie, dass H mit L
für die Eigenbasis von H?
(b) Geben Sie die möglichen Energie-Eigenwerte an, sowie die allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung, ausgedrückt
in der Basis |l, mi, für die gilt:
~ 2 |l, mi = ~2 l(l + 1)|l, mi
L
Lz |l, mi = ~m|l, mi
(l ∈ N0 )
(m ∈ {−l, −l + 1, . . . , l})
~ = (b, 0, b)?
(c) Wie lauten die möglichen Energie-Eigenwerte für B
QMI9.4: Ein Spin-1/2-Teilchen der Masse m und Ladung e in einem äußeren
~ wird durch den Hamiltonoperator H = − e S
~ ·B
~ beschrieMagnetfeld B
mc
ben (in dieser Aufgabe interessieren wir uns also nur für die potentielle
2
Energie des Teilchens im Magnetfeld und ignorieren dessen kinetische
~ = (Sx , Sy , Sz )T mit Si = ~ σi bezeichne die SpinEnergie). Der Vektor S
2
~ = B êz . Der Haoperatoren. Das B-Feld sei in z-Richtung orientiert B
e
B.
milton ergibt sich also in der Form H = −ωS3 , wobei ω ≡ mc
(a) Finden Sie den Ausdruck für den Zeitentwicklungsoperator und vergleichen Sie ihn mit dem Operator für endliche Drehungen angewendet auf den Spinzustand des Teilchens (d.h., den Spinorraum). Identifizieren Sie die zeitliche Abhängigkeit des Drehwinkels hinsichtlich
eB
.
ω = mc
(b) Die Erwartungswerte der Spinoperatoren seien zum Zeitpunkt t = 0
gegeben. Berechnen Sie die Erwartungswerte hSx i(t), hSy i(t), hSz i(t).
Verwenden Sie hierzu die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel und
die Tatsache, dass die Spinoperatoren die Drehimpulsalgebra erfüllen.
(c) Berechnen Sie die Periodendauer T in Bezug auf den Erwartungswert. Es gilt also hSx i(T ) = hSx i(0). Gilt dies auch für einen Zustandsvektor nach der Zeit T ?
(d) Zu welchen Zeiten findet ein Spinflip statt, d. h. das System befindet
sich zu diesen Zeitpunkten in dem Eigenzustand zu dem Operator
Sz mit Eigenwert −~/2 ?
Hinweis: Die Pauli-Matrizen sind bezüglich der Sz -Eigenbasis folgendermaßen definiert:
0 1
0 −i
1 0
σx =
, σy =
, σz =
1 0
i 0
0 −1
Baker-Campbell-Hausdorff-Formel:
X̂
−X̂
e Ŷ e
h
i
mit X̂, Ŷ
m
∞
X
1
[X̂, Ŷ ]m ,
=
m!
m=0
h
i
= [X̂, [X̂, Ŷ ]m−1 ] und X̂, Ŷ = Ŷ
0
h
i
h
i
für X̂, [X̂, Ŷ ] = 0 und Ŷ , [Ŷ , X̂] = 0 gilt
eX̂ eŶ
eX̂+Ŷ
= eŶ eX̂ e[X̂,Ŷ ] ,
= eX̂ eŶ e−[X̂,Ŷ ]/2
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