4. ¨Ubung zur Quantenmechanik - Institut für Theoretische Physik

Institut für Theoretische Physik
Prof. Thomas Gasenzer, Dr. Tilman Enss
Universität Heidelberg
Sommersemester 2013
4. Übung zur Quantenmechanik
Abgabe der schriftlichen Aufgaben am 10.5.2013 am Anfang der Übung;
Besprechung der Lösungen in der Übung am 16./17.5.2013.
Aufgabe 10: Kontinuitätsgleichung
(5 Punkte)
Wir betrachten die zeitabhängige Schrödingergleichung
i~
∂
|ψi = H|ψi
∂t
(1)
im Ortsraum. Der Hamiltonoperator sei gegeben durch
H=−
~2
∆ + V (x),
2m
(2)
wobei wir annehmen, dass das Potential V reellwertig ist. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 kann als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden.
Wir definieren
J (x, t) =
~
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) .
2mi
(3)
Zeigen Sie durch Kombination der Schrödingergleichung mit ihrer komplex konjugierten,
dass ρ und J die Kontinuitätsgleichung
∂ρ
+∇·J =0
∂t
(4)
erfüllen. Welche Interpretation
hat demzufolge J ? Zeigen Sie weiter, dass die GesamtR
wahrscheinlichkeit R3 ρ(x, t) d3 x zeitlich konstant bleibt.
(bitte wenden)
1
Aufgabe 11: Zwei-Niveau-System
(8 Punkte)
Betrachten Sie ein Spin-1/2-Teilchen im Magnetfeld. Das Teilchen mit Spin S = ~2 σ hat
ein magnetisches Moment µ = gγS, und seine Dynamik im Magnetfeld B = Bez wird
durch den Hamiltonoperator
~
H = −µ · B = − ωL σz
2
beschrieben mit der Larmorfrequenz ωL = gγB.
(5)
(a) Was sind die Eigenwerte und Eigenzustände |↑i, |↓i des Hamiltonoperators? Wie
entwickeln sich die Eigenzustände gemäß der Schrödingergleichung in der Zeit?
(b) Das Spinteilchen werde zur Zeit t = 0 so präpariert, dass eine Messung der Spinprojektion in x-Richtung den Eigenwert +1 ergibt (d.h., das Teilchen befindet
sich im σx -Eigenzustand zum Eigenwert 1): |ψ(t = 0)i = |ex i. Berechnen Sie die
Zeitentwicklung dieses Zustands, |ψ(t)i, in der Eigenbasis des Hamiltonoperators.
(c) In einem Stern-Gerlach-Experiment wird die Wahrscheinlichkeit gemessen, dass
sich ein Teilchen z.B. im Zustand |↑i befindet. Wie entwickelt sich die Wahrscheinlichkeitsamplitude h↑ |ψ(t)i mit der Zeit, und wie die Wahrscheinlichkeit?
Das Stern-Gerlach-Experiment wird nun so gedreht, dass es die Spinprojektion in
x-Richtung misst. Wie verhält sich die Wahrscheinlichkeitsamplitude hex |ψ(t)i mit
der Zeit?
(d) Berechnen Sie die Erwartungswerte
hψ(t)|σi |ψ(t)i
(6)
für i = x, y, z. Interpretieren Sie das Ergebnis als Drehung eines Spinvektors im
dreidimensionalen Raum: was ist die Drehachse, und was der Drehwinkel?
Aufgabe 12: Delta-Potential
(7 Punkte)
Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m in einem eindimensionalen attraktiven Potential
~2
V (x) = −
δ(x)
(λ0 > 0).
(7)
mλ0
Wir interessieren uns für Lösungen der stationären Schrödingergleichung H|ψi = E|ψi
mit negativer Energie E < 0 (gebundene Zustände). Wir schreiben die Energie als
E = −~2 K 2 /2m für K > 0.
(a) Nehmen Sie an, dass die Wellenfunktion ψ(x) stetig ist bei x = 0, und leiten Sie
eine Beziehung zwischen dem Sprung der Ableitung ψ ′ (x) und ψ(x = 0) her, indem
Sie Schrödingergleichung in einem kleinen Bereich zwischen x = −ε und x = +ε
integrieren.
(b) Wieviele gebundene Zustände gibt es, und bei welchen Energien? Gibt es gebundene Zustände im Fall eines repulsiven δ-Potentials (λ0 > 0)?
2