Übungen zur Quantenmechanik (B.Sc. Physik Modul TP 5

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Prof. Dr. R. Verch
UNIVERSITAT LEIPZIG
Dipl. Phys. D. Rings, Dipl. Phys. S. Sturm
Inst. f. Theoretische Physik
Wintersemester 2009/10
Übungen zur Quantenmechanik (B.Sc. Physik Modul TP 5)
Aufgabenblatt 10
Aufgabe 28 [Diese Aufgabe wird gewertet, Wert = 6 Punkte]
Für ein Teilchen der Masse m im harmonischen Oszillatorpotential in einer räumlichen Dimension sei ein Zustandsvektor zum Zeitpunkt t = 0 gegeben durch
2 /2
ψ0 (x) := N((αx)3 + (αx)2 )e−(αx)
√
(mit α = ( mK/!)1/2 ). Berechnen Sie N so, dass (ψ0 , ψ0 ) = 1, und bestimmen Sie die
Lösung der Schrödingergleichung ψt (x) sowie den Erwartungswert (ψt , Hψt ) der Energie und
die Varianz (∆H)t = ((ψt , H 2 ψt ) − (ψt , Hψt )2 )1/2 zu allen Zeiten t.
Hinweis: Zeigen Sie, dass (ψt , H m ψt ), m ∈ N0 , zeitlich konstant ist. ψt (x) sollte mit Hilfe
der Hermite-Polynome ausgedrückt werden.
Aufgabe 29 Beantworten Sie möglichst prägnant und knapp (möglichst mit nicht mehr
als 3 Sätzen, ggf. unter Verwendung einer Skizze und Nennung der relevanten Formeln) die
folgenden Fragen.
1. In der Beschreibung quantenmechanischer Systeme werden u.a. die Begriffe “Zustand”,
“Ensemble” und “Einzelexperiment” verwendet. Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen diesen Begriffen.
2. Wie sind Bindungszustände in der Quantenmechanik definiert? Was sind stationäre
Zustände? Welche Beziehung besteht zwischen diesen Arten von Zuständen?
3. Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen stetigen einparametrigen Gruppen und selbstadjungierten Operatoren in einem Hilbertraum.
4. Was versteht man unter dem “Heisenbergbild” und unter dem “Schrödingerbild”? Wie
hängen diese Begriffe zusammen?
5. Was wird als die de Brogliesche Hypothese bezeichnet?
Aufgabe 30 Ein quantenmechanisches Teilchen der Masse m bewege sich auf der reellen
Achse unter dem Einfluß des Potentials
!
−V0 /a falls −a/2 < x < a/2
V (x) :=
0
sonst ,
hierbei sind a, V0 vorgegebene positive Konstanten.
/...2
1
Skizzieren Sie V (x) für kleiner werdende a. Bestimmen Sie im Limes a → 0 einen gebundenen
Zustand (d.h. einen normierten Eigenzustand) χE0 des Hamiltonoperators und den zugehörigen
Eigenwert E0 . Zeigen Sie dann, dass dieses χE0 die stationäre Schrödingergleichung
#
" 2 2
! d
−
V
δ(x)
χE0 = E0 χE0
− 2m
0
dx2
erfüllt, wobei diese Gleichung im Sinne von Distributionen aufzufassen ist, d.h. in dem Sinne,
dass
!2
− 2m
(f "" , χE0 )L2 − V0 f (0)χE0 (0) = E0 (f, χE0 )L2
für jedes f ∈ S(R) gilt.
Abgabe: Am Mittwoch, den 06.01.2010 vor der VL.
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