¨Ubungen zur Vorlesung Quantenmechanik SS 2012

Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik SS 2012
Prof. Dr. Wolfgang Kinzel / Prof. Dr. Georg Reents
Aus dieser früheren Klausur zählen die Aufgaben 2, 3, 5, 6
als Übungsaufgabe 36, 37, 38, 39 zu den Übungen.
Aufgabe 1 : Verständnisfragen (10 Punkte)
1. (2 Punkte) ψ(~r, t) sei die normierte Wellenfuntion eines Teilchens, V ein beliebiges Volumen im R3 . Welche physikalische Bedeutung hat das Integral
Z
d3 x|ψ(~x, t)|2 ?
V
Wie hängt die zeitliche Änderung dieses Integrals mit dem Wahrscheinlichkeitsstrom zusammen (in Worten)?
2. (3 Punkte) Bei welchen physikalischen Systemen wächst die Energie der stationären
Zustände als Funktion einer Quantenzahl n ∈ N
a) linear mit n?
b) proportional zu n2 ?
c) proportional zu 1/n2 ?
P max
an |φn ihφn | habe ein diskretes, nicht entartetes
3. (3 Punkte) Eine Observable  = nn=1
Spektrum {an , n ∈ 1, ..., nmax }. Sei |ψi irgendein Zustand im Hilbertraum der Observablen, in dem das System vor der Messung präpariert ist.
a) Welche Messergebnisse für die Observable sind möglich?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten sie auf?
c) Wie sieht der Zustand des Systems unmittelbar nach erfolgter Messung aus?
4. (2 Punkte) Seien |ψi i, i = 1, 2 Eigenzustände des Hamiltonoperators Ĥ mit Eigenwerten
Ei . Zur Zeit t = 0 gibt Ihnen jemand des Zustand c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i vor. Wie sieht dann
|ψ(t)i aus?
Aufgabe 2 : Wasserstoffatom (6 Punkte) ( Übungsaufgabe 36 )
Ein Elektron bewege sich im Coulomb-Potential des Protons, so dass die Grundzustandsenergie
E1 = −Ry ist. Das Elektron befinde sich im Zustand
|ψi =
i
√
1h
4|1, 0, 0i + 3|2, 1, 1i − |2, 1, 0i + 10|2, 1, −1i ,
c
wobei die Zustände durch die Quantenzahlen |n, l, mi gekennzeichnet sind. Berechnen Sie die
Normierungskonstante c und damit die Erwartungswerte
a) der Energie,
b) des Quadrates des Drehimpulses L2 und
c) der z-Komponente des Drehimpulses Lz .
Aufgabe 3 : Zweiniveau-System (10 Punkte)
Die Zeitentwicklung eines Systems mit Zuständen
Hamiltonoperator:
7
Ĥ = ~ ω
1
( Übungsaufgabe 37 )
|ψi ∈ H = C2 werde bestimmt durch den
1
7
.
Das System befinde sich zur Zeit t = 0 im (reinen) Zustand:
1
2
|ψ(t = 0)i = √
5 i
1. Bestimmen Sie die Eigenwerte E0 und E1 sowie die normierten Eigenzustände |0i und |1i
von Ĥ.
2. Geben Sie die Zeitentwicklung des Zustandes |ψ(t)i an.
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Pn (t), das System bei einer Energiemessung zur Zeit
t > 0 im Eigenzustand |ni anzutreffen (n ∈ {0, 1})?
1
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P10 (t), das System im Zustand
zu messen.
0
5. Wie groß sind die Erwartungswerte hEiψ und die Variation ∆ψ E der Energie?
Aufgabe 4 : Eindimensionale stationäre Schrödingergleichung (6 Punkte)
Gegeben sei die Grundzustands-Wellenfunktion
ψ0 (x) = αe−κ|x| mit κ > 0
einer eindimensionalen stationären Schrödingergleichung. Wir wählen α > 0.
1. Berechnen Sie die Normierung α.
2. Wie lautet für x 6= 0 das Potential, relativ zur Grundzustandsenergie: V (x) − E0 ?
3. Berechnen Sie den Erwartungswert
des Ortes hxi0 und die zugehörige Varianz (∆x)2 =
R∞
2
n−1 −t
h(x − hxi0 ) i0 . Hinweis: 0 dt t e = Γ(n) = (n − 1)!
4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Teilchen bei einer Ortsmessung an einem Ort
x > 1/(2κ) angetroffen?
Aufgabe 5 : Wechselwirkende Spins (6 Punkte) ( Übungsaufgabe 38 )
Zwei Spins mit Drehimpulsquantenzahl s = 12 sollen durch folgenden Hamiltonoperatator wechselwirken:
µ
J ~ ~
Ĥ = − 2 S
B(S1z + S2z ).
1 · S2 +
~
~
Berechnen Sie die Energieniveaus dieses Systems.
Aufgabe 6 : Clebsch-Gordan-Koeffizienten (15 Punkte) ( Übungsaufgabe 39 )
Addieren Sie zwei quantenmechanische Drehimpulse J~ = J~1 + J~2 . Betrachten Sie den Hilbertraum der Zustände mit den Quantenzahlen j1 = 1 und j2 = 1. Entwickeln Sie die 9
Eigenzustände |jmi von J~2 und J~z nach den Eigenzuständen |m1 i|m2 i von J1z und J2z .
Tipp: Verwenden Sie J− und die Orthogonalität der Zustände |jmi. Starten Sie mit |22i.
Besprechung in der Woche vom 16.07.2012 - 20.07.2012