Quantenmechanik I Wintersemester 2013/14 Aufgabenblatt 10

10. Januar 2014
Quantenmechanik I
Wintersemester 2013/14
Aufgabenblatt 10
QMI10.1:
Betrachten Sie den endlich tiefen Potentialkasten
(
−V0 für |x| < a
V (x) =
0
sonst
(1)
mit V0 > 0. Wir interessieren uns zunächst für die gebundenen Zustände,
d.h. die stationären Zustände mit Eigenenergie E < 0.
(a) Zeigen Sie, dass sich mit den Anschlussbedingungen für die symmetrischen Wellenfunktionen folgende Bedingung für die Eigenenergie
E ergibt:
r z0 2
−1
(2)
tan z =
z
√
√
2m(E+V0 )
2mV0
wobei z := a
und
z
:=
a
. Zeigen Sie, wie man
0
~
~
Gleichung (2) durch eine graphische Konstruktion lösen kann, wenn
man die linke und rechte Seite der Gleichung als Funktion von z
aufträgt.
(b) Betrachten Sie den Limes V0 → ∞ eines sehr tiefen Potentialkastens. Diskutieren Sie, wie das Energiespektrum aus der graphischen
Lösung mit dem bekannten Energiespektrum des unendlich tiefen
Potentialtopfs übereinstimmt.
Betrachten Sie nun die Streuzustände, d.h. die stationären Zustände mit
Energie E > 0.
(c) Konstruieren Sie den Streuzustand zur Energie E > 0, den man zur
Beschreibung linkseinlaufender Teilchen benötigt.
(d) Berechnen Sie den Transmissions- und Reflexionskoeffizienten als
Funktion der Energie. Dabei ist der Transmissionskoeffizient T (E)
gegeben durch das Betragsquadrat des Quotienten der Amplituden
von aus- und einlaufender Welle. Der Reflexionskoeffizient R(E)
ist entsprechend gegeben durch das Betragsquadrat des Quotienten
der Amplituden von refektierter und einlaufender Welle, so dass
R(E) + T (E) = 1. Sie sollten als Ergebnis finden:
1
T (E) =
1+
V02
4E(E+V0 )
1
sin2 ( 2a
~
.
p
2m(E + V0 ))
(3)
Wie verhält sich der Transmissionskoeffizient für E V0 ?
(e) Skizzieren Sie T (E) und interpretieren Sie die Energien, bei denen
der Potentialkasten vollständig transparent wird (Resonanzen), indem Sie mit den Eigenenergien eines unendlich tiefen Potentialtopfes der Breite 2a vergleichen.
QMI10.2:
Betrachten Sie ein linkseinlaufendes Teilchen der Masse m in einer Dimension und eine Potentialbarriere:
(
0 für |x| < a
V (x) =
(4)
V0 sonst
mit V0 > 0. Berechnen Sie die Streuzustände für dieses Problem und geben Sie den Transmissions- und den Reflexionskoeffizienten als Funktion
der Energie an.
Hinweis: Machen Sie geeignete Fallunterscheidungen, bezüglich der Energie des einlaufenden Teilchens. Für 0 < E < V0 sollten Sie beispielsweise
finden:
T (E) =
1+
V02
4E(V0 −E)
1
.
p
2m(V
−
E)
sinh2 2a
0
~
(5)
Bemerkung: Die Beobachtung, dass auch für E < V0 die Transmissionswahrscheinlichkeit T (E) > 0 ist, bezeichnet man als Tunneleffekt. In
der klassischen Physik wäre die entsprechende Wahrscheinlichkeit gleich
Null.
QMI10.3:
Für den Drehimpuls J in der Quantenmechanik gilt allgemein:
[Jα , Jβ ] = i~εαβγ Jγ
mit dem Levi-Civita-Tensor εαβγ .
Bezüglich der Messbarkeit gilt zusätzlich
2 J , Jz = 0.
Berechnen Sie nun das Spektrum der beiden Operatoren J 2 und Jz
J 2 |jmi = ~2 χj |jmi
Jz |jmi = ~m|jmi,
wobei hjm|jmi = 1. Bestimmen Sie hierzu j, m und χj .
2
(6)
(7)
QMI10.4:
Betrachten Sie den eindimensionalen harmonischen Oszillator, der durch
den Hamilton-Operator H = p2 /2m + mω 2 q 2 /2 beschrieben wird. Berechnen Sie explizit die folgenden Kommutatoren:
[p, q] ,
[H, p]
und
[q, H]
(8)
√
2m~ω) und
In der Vorlesung wurden
die
Operatoren
a
:=
(mωq
+
ip)/(
√
†
a := (mωq − ip)/( 2m~ω) eingeführt. Zeigen Sie, dass sie die Relation
†
(9)
a, a = 1
erfüllen.
QMI 10.5:
Betrachten Sie den eindimensionalen harmonischen Oszillator. Die Wellenfunktion des Grundzustands |0i, also des Zustands niedrigster Energie, im Ortsraum ist gegeben durch
"
r
2 #
1
1 x
~
Ψ0 (x) ≡ hx|0i = p √ exp −
mit x0 =
. (10)
2 x0
mω
x0 π
Der Aufsteigeoperator ist definiert als
1
ip
†
a =√
x−
(11)
mω
2 x0
√
und erfüllt die Relation a† |ni = n + 1|n+1i.
Der entsprechende Abstei√
geoperator a erfüllt die Relation a|ni = n|n − 1i. Hierbei bezeichne |ni
die orthonormalen Energieeigenzustände zum Eigenwert En = (n+ 21 )~ω.
(a) Berechnen Sie die erste angeregte Ortsraumwellenfunktion Ψ1 (x) ≡
hx|1i.
(b) Skizzieren Sie |Ψ0 (x)|2 und |Ψ1 (x)|2 und diskutieren Sie die Unterschiede im Hinblick auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens. Gehen Sie insbesondere auf die Tatsache ein, dass die Aufenthaltwahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens im ersten angeregten
Zustand bei x = 0 verschwindet. Was ist für die höher angeregten
Zustände zu erwarten?
(c) Das Teilchen werde zum Zeitpunkt t = 0 durch folgenden Zustand
beschrieben
|Ψi(t = 0) = N 4 |0i + 3 |1i .
(12)
Bestimmen Sie die Normierungskonstante N .
(d) Bestimmen Sie den Zustand |Ψi(t) zur Zeit t und berechnen Sie die
Erwartungswerte von Ort und Impuls als Funktion der Zeit.
3