TP3 - Quantenmechanik Probeklausur I

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TP3 - Quantenmechanik Probeklausur I
Datum 23.11.2010
Name, Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hilfsmittel : keine
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Summe
erreichbar 5 5 14 8 9 9
50
Punkte
Viel Erfolg!
Formeln
Alle auf dieser Seite angegebenen Formel dürfen ohne Beweis benutzt werden.
• Das in dieser Klausur benutzte Skalarprodukt auf H
Z
∞
hϕ|ψi :=
dx ϕ(x)∗ ψ(x)
(1)
−∞
• Trigonometrische Funktionen
sin(x) =
1 ix
e − e−ix ;
2i
cos(x) =
1 ix
e + e−ix
2
(2)
• Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators
1
En = ~ω n +
2
(3)
ρ(~x, t) := ψ ∗ ψ
(4)
• Wahrscheinlichkeitsdichte
• Stromdichte
j(~x, t) :=
~
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )
2mi
(5)
• Kontinuitäsgleichung
∂
ρ(~x, t) + div j(~x, t) = 0
∂t
(6)
Lj := jkl xk pl
(7)
• Drehimpulsoperator
• Kommutatorrelation beim harm. Oszillator
[b, b† ] = 1
(8)
• Grundzustand des harmonischen Oszillators
1
ψ0 = π − 4 e−
x2
2
(9)
Zum Aufwärmen...
Aufgabe 1 : Darstellungswechsel
5 Punkte
Wir betrachten ein zweidimensionales System. Die Zustände |ϕ1 i und |ϕ2 i bilden eine orthonormale Basis. Eine alternative Basis sei mittels
1
|ψ1 i = √ (|ϕ1 i + |ϕ1 i)
2
,
1
|ψ2 i = √ (|ϕ1 i − |ϕ1 i)
2
definiert. Der Operator P lautet in der |ϕi i- Basis
1 P =
.
1
Gebe den Operator P in der |ψi i- Basis an.
Aufgabe 2 : Ein einfacher Zustandsraum
5 Punkte
Wir betrachten ein physikalisches System in einem dreidimensionalen Zustandsraum. In einer
orthonormalen Basis sei der Hamiltonoperator durch folgende Matrix repräsentiert:


2 1 0
H = 1 2 0 .
0 0 3
a) Welche Werte findet man, wenn die Energie des Systems gemessen wird?
b) Angenommen ein Teilchen befinde sich im Zustand |ψi =
Erwartungswert von H?
q
c) Berechne ∆H := hH 2 i − hHi2 .
√1
3
(i, −i, i)t . Wie lautet der
Aufgabe 3 : 2 - dimensionaler Potentialtopf
14 Punkte
Gegeben ist ein Potential
V (x, y) =
0 für 0 ≤ x ≤ a und 0 ≤ y ≤ b
.
∞
sonst
(10)
a) Führen Sie mit dem Separationsansatz Ψ(x, y) = f (x)g(y) das zweidimensionale Problem
auf ein eindimensionales zurück. Zeigen Sie, dass
Ψ(x, y) = C sin(kx x) sin(ky y),
kx2 :=
2m
Ex ,
~2
ky2 :=
2m
Ey ,
~2
gilt, wobei C die Normierungskonstante ist.
b) Berechnen Sie die Energieniveaus E(nx , ny ) = Ex + Ey .
RR
c) Berechnen Sie die Normierungskonstante
C so dass
(Ψ(x, y))2 dxdy = 1.
R
2
Tipp : Es ist geschickt, zunächst sin (ax) dx zu berechnen.
(11)
Aufgabe 4 : Ein Teilchen im Potential
8 Punkte
Betrachten Sie ein Teilchen in einer Dimension mit dem Hamilton-Operator
H=
p2
+ V (x)
2m
mit V (x) = λxn
und T =
p2
.
2m
(12)
a) Berechnen Sie den Kommutator [H, xp].
b) Zeigen Sie, dass die Mittelwerte hT i und hV i der kinetischen und potentiellen Energie der
Relation
2 hT i = n hV i
(13)
genügen, wenn es im Potential V (x) einen oder mehrere stationäre Energieeienzustände
|ϕi gibt.
Aufgabe 5 : Erwartungswerte des harmonischen Oszillators
9 Punkte
Betrachten Sie den quantenmechanischen harmonischen einheitenfreien Oszillator in einer
Raumdimension mit b = √12 (x̂ + i p̂). Berechnen Sie die Grundzustandserwartungswerte
(i) h0|p2 |0i
(ii) h0|px|0i
(iii) h0|x3 p|0i
algebraisch durch Benutzung der Erzeuger und Vernichter b und b† .
Aufgabe 6 : Stationäre Zustände im eindimensionalen Potentialtopf 9 Punkte
Wir betrachten die Schrödinger-Gleichung
~2 ∂ 2
i ~ ∂t Ψ(t, x) = −
+ V (x) Ψ(t, x)
2m ∂x2
in einer Raumdimension. V (x) sei ein Kastenpotential:

 0 falls x ∈ [−d, 0]
V0 falls
x ∈ [0, d]
V (x) =

∞ sonst
mit
V0 > 0.
(14)
(15)
Es sollen nun mit Hilfe des Ansatzes
i
Ψ(t, x) = e− ~ Et ϕ(x),
E ∈ R
(16)
stationäre Lösungen der Gleichung (14) bestimmt werden. Dabei soll ϕ(x) überall stetig differenzierbar sein.
a) Formuliere einen Lösungsansatz für die Wellenfunktion und gebe die Randbedingungen
und Übergangsbedingungen für ϕ(x) explizit für V0 > E > 0 und E > V0 an. Berechne
daraus Bestimmungsgleichungen für die Energieeigenwerte.
b) Skizziere qualitativ die Lösungen für V0 > E > 0 und E > V0 .
c) Wie lautet die Lösung für den Fall E = V0 ?
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