4. ¨Ubungsblatt zur Theoretischen Physik IIIa

7. Mai 2008
Technische Universität Berlin
Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. H. Engel
Dipl.-Phys. Dipl.-Math. Philipp Hövel
Dipl.-Phys. Jan Schlesner
http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/lv/ss08/pvhs/quant a/
4. Übungsblatt zur Theoretischen Physik IIIa
Abgabe: Mittwoch 21.05.08 vor der Vorlesung
Unitäre Operatoren und harmonischer Oszillator
Aufgabe 9(6 Punkte): Unitäre Operatoren
Sei Q̂ ein linearer Operator. Beweisen Sie folgende Behauptungen:
1. Eigenwerte von unitären Operatoren können nur komplexe Zahlen vom Betrag 1 sein.
+ ′
2. Q̂′
= Q̂+
3. Sei f (Q̂) eine Funktion des Operators Q̂. Dann gilt
′
f (Q̂) = f Q̂′ .
Aufgabe 10(14 Punkte): Harmonischer Oszillator in Matrixdarstellung
n
Wir betrachten die Eigenzustände |ni = √1n! (â+ ) |0i des Erzeugungsoperators â+ des harmonischen Oszillators in Matrixdarstellung. Die Eigenzustände lauten dann:
 
 
 
0
0
1
 0 
 1 
 0 
 
 
 
 
 
 
···
|2i :=  1  ,
|1i :=  0  ,
|0i :=  0  ,
 0 
 0 
 0 
 
 
 
..
..
..
.
.
.
Berechnen Sie die Matrixdarstellung von Erzeugungsoperator â+ , Vernichtungsoperator â, Ortsoperator x̂, Impulsoperator p̂ und Hamiltonoperator Ĥ in dieser Basis.
Aufgabe 11(20 Punkte): Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators
Zeigen Sie ausgehend von
1 † n
√
â
|0i,
n!
dass die Eigenzustände des harmonischen Oszillators in Ortsdarstellung durch
mω 1/4 1
q2
√
Hn (q)e− 2
ψn (q) =
π~
2n n!
p mω
gegeben sind (q =
~ x), wobei
|ni =
dn −q2
e
dq n
die Hermiteschen Polynome sind, die ihrerseits der linearen, homogenen Differentialgleichung 2.
Ordnung
2
d
d
− 2q + 2n Hn (q) = 0
dq 2
dq
Hn (q) = (−1)n eq
2
genügen.
Skizzieren Sie die Wellenfunktionen des Grundzustandes und der ersten beiden angeregten Zustände.