Quantenmechanik -¨Ubungsblatt 10

Institut für Theoretische Physik
Universität Leipzig
Prof. Dr. B. Rosenow
Dr. D. Scherer
Quantenmechanik - Übungsblatt 10
Sommersemester 2015
Abgabe:
Die Ausarbeitungen sind bis Donnerstag, den 25.06., 11:00 Uhr in den
QM-Briefkasten in der Linnéstraße einzuwerfen.
Die Lösungen werden in den Übungen am Montag, den 29.06., besprochen.
34. Rotationsinvarianz des Hamiltonians
2 Punkte
Ein physikalisches System sei definiert durch einen Hamiltonoperator Ĥ. Zeigen Sie, daß das
Problem genau dann kugelsymmetrisch ist, wenn [Ĥ, L̂] = 0 gilt.
35. Drehimpulsoperator
1+1 Punkte
Beweisen Sie die folgenden Relationen für Drehimpulsoperatoren ausgehend von der DrehimpulsAlgebra [L̂i , L̂j ] = i~ijk L̂k :
(a) [L̂2 , L̂i ] = 0 für i = x, y, z.
(b) [L̂z , L̂± ] = ±~L̂±
36. Matrixdarstellung für Drehimpuls l = 1
4 Punkte
Leiten Sie unter Verwendung der Beziehungen
p
(Ψl0 m0 , L̂z Ψlm ) = ~m δl0 ,l δm0 ,m und (Ψl0 m0 , L̂± Ψlm ) = ~ l(l + 1) − m(m ± 1) δl0 ,l δm0 ,m±1
für festes l ≡ l0 ≡ 1 eine Matrixdarstellung von L̂x , L̂y , L̂z im m − m0 – Raum ab. Die Kugelfunktionen Ψlm sind Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators mit Gesamtdrehimpuls l und
z–Komponente m. Berechnen Sie weiterhin den Kommutator [L̂x , L̂y ] in dieser Matrixdarstellung.
37. Dreidimensionaler Potentialtopf
2+1+1 Punkte
Gegeben ist nun ein dreidimensionaler Potentialtopf mit V (r) = −V0 θ(a − |r|), V0 > 0.
(i) Lösen Sie die Schrödingergleichung für Drehimpuls l = 0 für gebundene Zustände in den
Bereichen 0 < r < a und r > a .
(ii) Gewinnen Sie dann aus den Anschlußbedingungen bei r = a eine Bestimmungsgleichung
für die Energie gebundener Zustände.
(iii) Lösen Sie die Gleichung graphisch und formulieren Sie eine Bedingung für die Existenz
eines gebundenen Zustands.
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38. Pauli-Matrizen
3 Punkte
Wie bereits bekannt, erfüllen die Komponenten des Drehimpulsoperators die Kommutatorrelation [L̂i , L̂j ] = i~ijk L̂k . Da [L̂2 , L̂z ] = 0, lassen sich simultane Eigenfunktionen der Operatoren
L̂2 and L̂z finden:
L̂2 Ψlm = ~2 l(l + 1)Ψlm
L̂z Ψlm = ~mΨlm ,
wobei l auf die Werte 0, 21 , 1, 23 , . . . quantisiert ist. Für gegebenes l sind die erlaubten Werte von
m = −l, −l + 1, ..., l − 1, l. Im Falle von Bahndrehimpuls sind l bzw. m ganze Zahlen, halbzahlige
Werte für l, m sind jedoch in der Natur durch intrinischen Drehimpuls (den sogenannten Spin)
fermionischer Teilchen realisiert. Alle bekannten elementaren fermionischen Materieteilchen tragen den Spin l = 21 . Bestimmen Sie die entsprechende Matrixdarstellung der Operatoren L̂x , L̂y ,
L̂z . Die Matrixdarstellungen definieren bis auf einen Faktor ~/2 die sogenannten Pauli-Matrizen.
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