Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik

Universität zu Köln
Institut für Theoretische Physik
Michael Lässig
Johannes Berg
Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik
11. Übung – Dienstag, 18. Januar 2005
Abgabetermin – Montag, 17. Januar 2005 12 Uhr
Literaturarbeit
Zur Vorbereitung auf die nächste Vorlesung lesen Sie bitte Cohen-Tannoudji,Diu,Laloë
Quantenmechanik, Kapitel 6 (Drehimpuls).
1. Spin
1
2
Wir betrachten ein System mit Spin
nenten des Spins
1
2
in (S, Sz )-Darstellung. Darin sind die Kompo

σx
~
S =  σy 
2
σz
(1)
durch die Pauli-Matrizen σx , σy und σz gegeben.
a) Zeigen Sie, daß die Matrix U(ω) ≡ exp{− ~i ωSy } durch
cos(ω/2) − sin(ω/2)
U(ω) =
sin(ω/2) cos(ω/2)
(2)
gegeben ist.
(10 Punkte)
b) Betrachten Sie nun den Zustand |ψi = |+i (den Eigenzustand von Sz mit Eigenwert + ~2 ) und den transformierten Zustand |ψ 0 i = U(ω)|ψi. Zeigen Sie explizit, daß
der Erwartungswert hψ 0 |S|ψ 0 i aus hψ|S|ψi durch eine Rotation um die y-Achse mit
Drehwinkel ω hervorgeht.
(20 Punkte)
c) Zeigen Sie, dass bei einer Drehung des Drehimpuls-Erwartungswertes um den Winkel ω = 2π |ψi in −|ψi transformiert wird. Das bedeutet, daß erst nach einer Drehung
um 4π wieder der Ausgangszustand erreicht wird! Warum spielt dies bei den Erwartungswerten keine Rolle? Beschreiben Sie ein Experiment, bei dem sich dieser Effekt
beobachten läßt.
(15 Punkte)
Tip: Eine Transformation von der Form U (ω) kann durch ein konkretes physikalisches System
realisiert werden, nämlich durch ein konstantes Magnetfeld in der y-Richtung. Auf dieser Basis
läßt sich ein Interferenzexperiment konstruieren.
1
d) Zeigen Sie, daß die unitäre Transformation Ũ (ω) = −U(ω), angewandt auf |ψi,
dieselbe Drehung des Erwartungswertes hψ 0 |S|ψ 0 i wie U(ω)beschreibt. Diskutieren Sie
damit den Zusammenhang zwischen Drehungen des Erwartungswertes (im dreidimensionalen Raum) und den unitären Transformationen des Zustandsvektors.
(10 Punkte)
2. Spin
3
2
a) Benutzen Sie die Matrixdarstellung von J± in der |j, mi-Basis (siehe Vorlesung),
um die 4 × 4 Matrizen der Matrixdarstellung von Jx ,Jy und Jz für ein System mit
Drehimpuls 23 zu finden.
15 Punkte
b) Zeigen Sie, daß keine gemeinsamen Eigenzustände von Jx2 ,Jy2 , und Jz2 existieren.
15 Punkte
c) Zeigen sie explizit in der Matrixdarstellung von (a), daß
Jx2 + Jy2 + Jz2 = ~2 j(j + 1)11 ,
(3)
wobei 11 die Identitätsmatrix ist. Eine Interpretation der Quantenmechanik könnte besagen, daß eine quantenmechanische Observable zu jedem Zeitpunkt einen ihrer Eigenwerte annimmt. In dieser stochastischen Interpretation würde der Eigenwert zufällige
Fluktuationen durchführen, deren Verteilung durch den quantenmechanischen Zustand
gegeben ist. Diskutieren Sie diese Interpretation für die Observablen Jx ,Jy und Jz : Zeigen Sie, daß sie falsch ist.
Tip: Geben Sie die möglichen Eigenwerte von Jx2 (und ebenso Jy2 ,Jz2 ) an. Kann mit diesen
Eigenwerten (3) erfüllt werden ?
15 Punkte
2