Leiteroperatoren
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Theoretische Chemie III Prof. Bernhard Dick Christian Neiß Uni Regensburg SS 2004 Übung 4 Leiteroperatoren 1. Drehimpuls ˆ In der Quantenmechanik ist der (verallgemeinerte) Drehimpuls J~ definiert über die Vertauschungsrelationen [Jˆx , Jˆy ] = ih̄Jˆz [Jˆy , Jˆz ] = ih̄Jˆx [Jˆz , Jˆx ] = ih̄Jˆy . Das quadrat des Drehimpulses ist definiert als ˆ ˆ Jˆ2 = J~ · J~ = Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2 . Des weiteren führt man die Leiteroperatoren Jˆ+ und Jˆ− ein: Jˆ+ = Jˆx + iJˆy Jˆ− = Jˆx − iJˆy Diese erfüllen die folgenden Vertauschungsrelationen: [Jˆz , Jˆ+ ] = h̄Jˆ+ [Jˆz , Jˆ− ] = −h̄Jˆ− [Jˆ2 , Jˆ+ ] = 0 [Jˆ2 , Jˆ− ] = 0 [Jˆ+ , Jˆ− ] = 2h̄Jˆz Die gemeinsamen Eigenfunktionen von Jˆ2 und Jˆz bezeichnen wir mit |λ, mi. • Warum gilt λ ≥ m2 ≥ 0 ? • Zeigen Sie, dass Jˆ+ und Jˆ− zueinander adjungiert sind. • Beweisen Sie: Jˆ2 = Jˆ+ Jˆ− − h̄Jˆz + Jˆ2 = Jˆ− Jˆ+ − h̄Jˆz − Jˆ2 . z z • Berechnen Sie Jˆ2 Jˆ+ |λ, mi und Jˆz Jˆ+ |λ, mi. Zeigen Sie damit, dass gilt: p Jˆ+ |λ, mi = λ − m(m + 1)h̄|λ, m + 1i p Jˆ− |λ, mi = λ − m(m − 1)h̄|λ, m − 1i 1
