Physik I — Mechanik 1 Einführung 2 Grundbegriffe der Bewegung 2.1 Ort und Bahn eines Massepunktes Kartesisches Koordinatensystem ~r = (x, y, z) (1) ~r = (r, φ, z) (2) x = r cos φ y = r sin φ z = z (3) (4) (5) ~r = (r, ϑ, φ) (6) x = r sin ϑ cos φ y = r sin ϑ sin φ z = r cos ϑ (7) (8) (9) Zylindrisches Koordinatensystem mit Sphärisches Koordinatensystem mit 2.2 Geschwindigkeit ∆~r d~r = ∆t dt ~v = (vx , vy , vz ) q |~v | = vx2 + vy2 + vz2 (11) ~r = ~r0 + ~u · t ~v = ~v 0 + ~u t = t0 (13) (14) (15) ~v = lim ∆t→0 (10) (12) Galilei–Transformation 1 2.3 Beschleunigung µ ¶ ∆~v d~v d d~r d2~r ~a = lim = = = 2 ∆t→0 ∆t dt dt dt dt ¶ µ ¶ µ 2 dvx dvy dvz d rx d2 ry d2 rz ~a = (ax , ay , az ) = , , = , , dt dt dt dt2 dt2 dt2 2.3.1 (17) Beispiel a: Gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung ~a = ~a0 ~v = ~a0 t + ~v0 1 ~r = ~a0 t2 + ~v0 t + ~r0 2 2.3.2 (16) (18) (19) (20) Beispiel b: Gleichförmige Kreisbewegung. Winkelgeschwindigkeit dφ dt (21) v =r·ω (22) ~v = ω ~ × ~r (23) ω= Geschwindigkeit Vektorschreibweise: Zusammenhang zwischen Frequenz, Periode und Winkelgeschwindigkeit: 1 ω f= = T 2π Beschleunigung bei gleichförmiger Kreisbewegung: ~ ω2 ~a = −R 3 3.1 (24) (25) Newtonsche Axiome Kraft F~ = (Fx , Fy , Fz ) Superposition F~ = X F~i (26) (27) i Hooksches Gesetz Fx = −C · ∆x 2 (28) 3.2 Newtonsche Axiome Impuls p~ = m · ~v (29) 1. Trägheitsprinzip 2. Aktionsprinzip d~p F~ = dt (30) 3. Reaktionsprinzip (actio = reactio) F~12 = −F~21 (31) 2. N.A. für konstante Masse: d d~v F~ = (m · ~v ) = m = m · ~a dt dt 3.3 (32) Reibung 1. Haftreibung Fh,max = µh FN (33) Fg = µg FN (34) FR = µR FN (35) FS = bv n (36) 2. Gleitreibung 3. Rollreibung 4. Strömungswiderstand 3.4 Gravitationsgesetz m1 m2 F~12 = γ 2 r̂12 r −11 Nm1 Gravitationskonstante ≈ 6.7 · 10 kg2 N Fallbeschleunigung ≈ 9.81 kg Äquivalenzprinzip Bewegungsgleichung 3.5 Keplersche Gesetze Eins, zwei, drei. 3 (37) 4 Energie– und Impulserhaltung 4.1 Arbeit und kinetische Energie Arbeit ∆W = F~ · ∆~x (38) Arbeit entlang einer Bahnkurve Z ~ r(t) F~ · d~r (39) dW = F~ · ~v dt (40) W = ~ r(t0 ) Leistung P = Kinetische Energie 4.2 dEkin + dEpot − dW = 0 (42) d (Ekin + Epot ) = 0 dt (43) Potentielle Energie beim Gravitationsgesetz Für Bezugspunkt → ∞ Epot = −γ 4.4 (41) Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie Abgeschlossenes System 4.3 1 p~2 Ekin = m~v 2 = 2 2m m1 mE r (44) Potentielle Energie ausgedehnter Masseverteilungen Epot = −γm0 X mi i (45) r0i Potential einer Kugelschale und einer Vollkugel. 4.5 Äquipotentialflächen der potentiellen Energie µ F~ = −gradEpot = −∇Epot = − 4 dEpot dEpot dEpot , , dx dy dz ¶ (46) 4.6 Konservative Kräfte 4.7 Impulserhaltung Keine äußeren Kräfte 4.8 d X d p~i = P~ = 0 dt i dt (47) Stoßprozesse 4.8.1 Vollkommen inelastischer zentraler Stoß 4.8.2 Vollkommen elastischer zentraler Stoß Umkehr der Relativgeschwindigkeit v20 − v10 = − (v2 − v1 ) 4.9 Kraftstoß Impulsübertrag Z Z p ~f J~ = ∆~p = tf d~p = p ~i 4.10 (48) F~ (t)dt (49) ti Masseschwerpunkt P mi~ri 1 X = ~rs = Pi mi~ri M i i mi (50) Schwerpunktsgeschwindigkeit ~vs = d~rs 1 X = mi~vi dt M i Gesamtimpuls P~ = X p~i = M~vs (51) (52) i Transformation zwischen Laborsystem und Schwerpunktsystem ~ri = ~ri,s + ~rs ~vi = ~vi,s + ~vs Summe der Impulse im Schwerpunktsystem X p~i = 0 i 5 (53) (54) (55) 4.11 Reduzierte Masse µ= 4.12 5 5.1 m1 m2 m1 + m2 (56) Stoßprozesse, Teil II Rotation Drehimpulserhaltun für einen Massepunkt Drehmoment Drehimpuls ~ = ~r × F~ M (57) ~ = m · ~r × ~v = ~r × p~ L (58) Änderung des Drehimpulses ~ ~ = dL (59) M dt Drehimpuls bleibt beim Wirken einer Zentralkraft erhalten (⇒ Keplerscher Flächensatz). Gleichung für den radialen Teil der Bahnbewegung (z.B. Planetenbahnen): p2r p2 L2 C + V 0 (r) = r + − =E 2m 2m 2m r 5.2 (60) Erhaltung des Drehimpulses bei Systemen von Massepunkten Drehmoment X ~ = M ~ri × F~i,ext (61) i Gesamtdrehimpuls ~ = L X mi~ri × ~vi = o Änderung des Drehimpulses X ~ri × p~i (62) i ~ ~ = dL M dt ~ = const. Abgeschlossenes System: L 6 (63) 5.3 Der Drehimpuls starrer Körper Rotationssymmetrische Körper, Rotation um Symmetrieachse ! Ã µZ ¶ X 2 2 ~ = L mi Ri ω ~ = R dm ω ~ = I~ω (64) V i mit Trägheitsmoment I= X Z mi Ri2 R2 dm = (65) V i Hohlzylinder Vollzylinder Kugel I = r02 M (66) 1 I = r02 M 2 (67) 2 I = r02 M 5 (68) Steinerscher Satz IA = IS + M a2 5.4 Rotationsenergie 1 L2 Erot = Iω 2 = 2 2I Bewegungsgleichung für Rotation. 5.5 Rotation eines beliebigen Körpers ~ und Windkelgeschwindigkeit ω Drehimpuls L ~ durch Trägheitstensor verknüpft und generell nicht mehr parallel: ~ = I~ ˜ω L (69) Rotationsenergie 1 T ω ~ 2 Trägheitsmoment im Hauptachsensystem Ia 0 ˜ 0 Ib I= 0 0 Erot = I˜ ω ~ (70) 0 0 Ic (71) mit Ia ≤ Ib ≤ Ic (Konvention). Asymmetrischer Kreisel; oblater und prolater symmetrischer Kreisel. 7 5.6 Der symmetrische Kreisel Drehimpuls und kinetische Energie im Hauptachsensystem: ~ = Ia ωa â + Ib ωb b̂ + Ic ωc ĉ L ¢ 1¡ 2 Erot = Ia ωa + Ib ωb2 + Ic ωc2 2 (72) (73) Kräftefreier und schwerer Kreisel. Nutation und Präzession. Präzessionsfrequenz: ωP = dφ M = dt L 8 (74)