5 ¨Ubungsblatt
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5 Übungsblatt - 19.11.2012 Übungen zur Physik III (Atom- und Molekülphysik) Prof. A. von Keudell, WS2012/2013 Abgabe bis Mittwoch, 14.11.2012, 12:00 in den Kasten NB5 Süd oder in der Vorlesung Nur ein Name pro Lösungsblatt und jedes Blatt mit Namen und Übungsgruppen versehen! Ansprechpartner ist Christian Maszl (NB5/173) 5.1 Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsregel Die ältere Quantentheorie ist im wesentlichen eine auf den Hypothesen von Bohr und dem Korrespondenzprinzip beruhende allgemeine Methode zur Berechnung der quantisierten Größen. Man nahm an, daß Systeme materieller Teilchen den Gesetzen der klassischen Mechanik folgten. Darüber hinaus postulierte man, daß von allen Lösungen der Bewegungsgleichungen nur die übrig bleiben sollten, die bestimmten, ad hoc eingeführten Quantisierungsregeln genügten. Das Wirkungsintegral Gl. 1 ist unter dem Namen Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsregel bekannt. I p dq = nh n = 1, 2, . . . , ∞. (1) Sie bestimmt die erlaubten Bahnen im Phasenraum und die zugehörigen gequantelten Energien. Ein materieller Punkt der Masse m ist in seiner Bewegung auf die x-Achse beschränkt und einer anziehenden Kraft −Kx proportional zu seiner Entfernung vom Ursprung unterworfen. Unter Verwendung der Bohr-Sommerfeldschen Quantisierungsregel berechne man Energie, Periode und Amplitude der quantisierten Bahnen. [9 Punkte] Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit dem Ergebnis der Herleitung aus der Schrödingergleichung Gl. 3.54 in ihrem Skriptum auf Seite 83 [1 Punkt]. 5.2 Ortsunschärfe im Parabelpotential Wie groß ist die Ortsunschärfe eines Teilchens im Parabelpotential 1 Epot = Dx2 2 (2) r 1 D E0 = ~ 2 m (3) wenn seine Nullpunktsenergie beträgt? [2 Punkte] 5.3 Anregung von Rydberg-Zuständen Wasserstoff-Atome lassen sich in hoch angeregte Zustände (sogenannte Rydberg-Zustände mit n 1) versetzen, wenn man die additive Absorption des Lichtes von zwei Lasern verwendet. Der erste sei ein Laser mit einer (festen) Wellenlänge von λ1 =107.9 nm und vernachlässigbar kleiner spektraler Bandbreite. 1 (a) Welche Wellenlänge λ2 ist für den zweiten (abstimmbaren) Laser erforderlich, um den Zustand mit n = 40 zu erreichen und welche spektrale Bandbreite ∆λ2 darf er besitzen, wenn nur dieser eine Zustand angeregt werden soll? [3 Punkte] (b) Welchen Durchmesser hat die Elektronenbahn in diesem Rydberg-Zustand und wie hoch ist die Umlauffrequenz des Elektrons im Bohrschen Atommodell? [2 Punkte] Hinweis: Ein Laser mit einer spektralen Bandbreite ∆λ emittiert Licht mit Wellenlängen im Bereich λ ± ∆λ/2. 5.4 Bohrsche Quantisierungsregel für den Drehimpuls Ein Positronium besteht aus einem Elektron und einem Positron. Beide bewegen sich auf einer Kreisbahn um ihren gemeinsamen Schwerpunkt. Berechnen Sie mit der Bohrschen Quantisierungsbedingung für den Drehimpuls den Abstand zwischen Elektron und Positron im Grundzustand sowie die Ionisierungsenergie. [3 Punkte] Hinweis: Die Bohrsche Quantisierungsregel für den Drehimpuls lautet Ln = me vn rn = n~ mit n ∈ N. Rutherford, 1911 Zur gleichen Zeit wird mit der Entdeckung der Radioaktivität (1896) eine neues Kapitel der Physik eröffnet; zum ersten Mal werden Eigenschaften von Atomkernen erkennbar. Diese wichtige Entdeckung gibt dem Physiker ein Mittel zur Untersuchung der Atomstruktur in die Hand: die aus Heliumkernen von großer Geschwindigkeit bestehende α−Strahlung. Rutherford (1911) setzt verschiedene Targets der α−Strahlung aus, d. h. er untersucht systematisch die Streuung von α−Teilchen an Atomen und es gelingt ihm das erste moderne Bild vom Atom zu entwickeln. (A. Messiah, Quantenmechanik 1, 2. Auflage, De Gruyter). 2 (4)
