Klassische Teilchen und Felder I (Lehramt)

Klassische
Teilchen und Felder I (Lehramt)
Prof. Dr. J. Wambach
Wintersemester 2011/12
4. Übungsblatt
11. November 2011
Aufgabe P9: Periheldrehung
Ob die Bahn eines Himmelskörpers in einem Zentralpotential nach einer „Periode“ geschlossen ist oder nicht, hängt
von der genauen Form des Potentials ab. Ein bekanntes Beispiel ist die Umlaufbahn des Merkur um die Sonne, bei der
sich Abweichungen von der idealisierten 1r -Gestalt des Gravitationspotentials in Form der sogenannten Periheldrehung
bemerkbar machen: Der sonnennächste Punkt (das Perihel) umkreist die Sonne mit einer Winkelgeschwindigkeit von
575 Bogensekunden in 100 Jahren. Der größte Anteil dieser Drehung kann innerhalb der Newtonschen Mechanik durch
Ausdehung und Form der Sonne sowie den Einfluss der übrigen Planeten erklärt werden; ein Restbeitrag von etwa 43 Bogensekunden in 100 Jahren erfordert dagegen die Berücksichtigung von Effekten aus der Allgemeinen Relativitätstheorie
und gilt historisch als eine der wichtigsten Bestätigungen von Einsteins Theorie.
In der Vorlesung wurde für eine volle Umlaufperiode im Potential V (r) (d. h. die Bewegung vom minimalen Abstand
vom Potentialzentrum zum maximalen Abstand und zurück) der folgende Zusammenhang zwischen Winkelkoordinate ϕ
und Bahnradius r hergeleitet:
Z rmax
1
l0
dr q
,
(1)
∆ϕ = 2 p
2m rmin
l02
2
r
E − V (r) − 2mr 2
wobei E und l0 Energie bzw. Drehimpuls der Bahn sind und m die Masse ist. Für einen Planeten im Gravitationspotential
V (r) = − κr ergibt sich daraus eine geschlossene Bahn mit ∆ϕ = 2π.
a) Zeigen Sie zunächst, dass sich Gleichung (1) folgendermaßen umschreiben lässt:
p
∂
∆ϕ = −2 2m
∂ l0
r
rmax
Z
dr
E − V (r) −
rmin
l02
2mr 2
.
(2)
b) Berechnen Sie damit ∆ϕ für ein Potential der Form
V (r) = −
κ
r
+
β
r2
κ > 0,
,
β
wobei r 2 als kleine Störung behandelt werden soll. Die auftretenden Integrale können auf das Ergebnis für das
ungestörte Potential zurückgeführt werden.
p
x 1.
Hinweis: 1 − x = 1 − 2x + O(x 2 ),
Aufgabe P10: Stabilität einer Kreisbahn
Ob in einem attraktiven Zentralpotential eine stabile Kreisbahn möglich ist, hängt von der Form des Zentralkraftfelds ab.
Wir betrachten dazu ein allgemeines Kraftfeld der Form
F~ (~x ) = −
g(r)
r2
~e r ,
r = |~x | ,
wobei g(r) eine beliebige bei r 6= 0 stetig differenzierbare Funktion sei.
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a) Stellen Sie die radiale Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt auf und betrachten Sie dann eine Kreisbahn
mit Störung,
r(t) = R + ε(t),
R = const.
Entwickeln Sie die Bewegungsgleichung bis zur linearen Ordnung in ε. Welche Form hat die resultierende Differentialgleichung für ε(t)? Welcher Bedingung muss g(r) genügen, damit die Kreisbahn stabil ist, d. h. dass ε(t) für
beliebige Zeiten t klein bleibt?
b) Welche Bedingung für n ergibt sich im Spezialfall g(r) =
κ
r n−2
mit κ > 0?
Aufgabe H7: Lenz-Vektor
Für die Bewegung im Potential V (r) = − κr stellt der sogenannte Lenz-Vektor
~=
B
~p × ~l
mκ
− ~e r
eine weitere Erhaltungsgröße neben Drehimpuls ~l und Energie E dar.
~˙ = 0 gilt.
a) Beweisen Sie durch explizite Rechnung, dass B
~ gerade der Exzentrizität der Bahnkurve entspricht. Berechnen Sie dazu ~l · B
~ und ~x · B
~ und
b) Zeigen Sie, dass B
~ eingeschlossenen Winkels (d. h. Þ(~x , B
~ ) = ϕ in der Kegelparametrisieren Sie die Bahn mittels des von ~x und B
schnittgleichung).
Aufgabe H8: Kepler’sche Gesetze
Gegeben sei ein Zentralkraftfeld F~ (~r) = f (r) ~rr ( r 6= 0).
a) Für ein sich in diesem Kraftfeld bewegendes Teilchen mit Ortsvektor ~r bleibt der Drehimpuls ~L = ~r × m~˙r während
~
der Bewegung konstant. Verifizieren Sie dies, indem Sie ddLt berechnen und dabei das zweite Newton’sche Axiom
F~ = m~¨r verwenden.
b) Warum impliziert dies, dass die Bewegung des Teilchens auf eine Ebene eingeschränkt wird?
c) Nun wählen wir ein Koordinatensystem dessen z -Achse in Richtung von ~L zeigt und beschreiben die Bahn des
Teilchens in Zylinderkoordinaten.
Geben Sie die Geschwindigkeit ~˙r in Zylinderkoordinaten an (abhängig von ρ(t) und ϕ(t)) und zeigen Sie dann,
dass der Drehimpuls durch ~L = mr 2 ϕ̇~ez gegeben ist.
d) Wir betrachten nun ein Teilchen auf einer Ellipsenbahn. Wie groß ist die in einer infinitesimalen Zeiteinheit ∆t
vom Ortsvektor („Fahrstrahl“ eines Planeten im Sonnensystem, d. h. die direkte Verbindung zwischen Sonne und
Planet) überstrichene Fläche? Betrachten Sie dazu ein Dreieck mit Seiten r und r∆ϕ . Folgern Sie mit dem Ergebnis
der voherigen Aufgabe das 2. Kepler’sche Gesetz: Der Ortsvektor überstreicht in gleich großen Zeiten gleich große
Flächen:
dA
l0
=
,
(3)
dt
2m
wobei A die überstrichene Fläche, l0 = ~L der Drehimpuls und m die Masse des Planeten ist. Welcher Zusammenhang besteht zwischen diesem Gesetz und der Drehimpulserhaltung? Gilt dies nur für Ellipsenbahnen?
e) Lösen Sie Gleichung (3) durch Trennung der Variablen. (Stellen Sie Gl. (3) nach dA um und integrieren Sie über
eine Umlaufperiode [Tipp: wie groß ist die Fläche einer Ellipse?]). Drücken Sie die Gleichung nur noch durch
die Variablen T und a sowie die Konstanten G und M aus. Wie ist der Zusammenhang zwischen T und a (3.
Kepler’sches Gesetz)?
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