E1 – Mechanik ¨Ubungsblatt 4
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Ludwig–Maximilians–Universität München – Fakultät für Physik Abgabe: 12. Nov. 2013 E1 – Mechanik Übungsblatt 4 WS 2013 / 2014 Prof. J. Rädler, Prof. H. Gaub Anmerkung: Lehramtstudierende und Studierende mit Nebenfach (6ECTS) brauchen Aufgaben, die mit einem (*) gekennzeichnet sind, nicht zu bearbeiten. Präsenzaufgabe 1* Mobile Ein Mobile befindet sich im Gleichgewicht. Der Körper B hat eine Masse von 0,735 kg. Bestimmen Sie die Massen der Körper A, C und D. Vernachlässigen Sie die Gewichte der Querstäbe. Präsenzaufgabe 2 Kreuzprodukt 0 1 −4 0 1 2 a) Berechnen Sie 0 × 0 , 0.5 × 3 und −3 × 1.5 2 −1.5 0 −1 0.5 2.5 0.5 2 → − − b) Eine Fläche wird durch die Vektoren → a = 2.5 und b = 1 aufgespannt. Berech0.75 1.5 nen Sie den Normalenvektor auf die Fläche und ihren Flächeninhalt. 1 −4 −1.5 → − − −c = c) Ein Rhomboeder wird durch die Vektoren → a = −0.25, b = −2.75 und → −1 −0.5 −2.5 −1.5 aufgespannt. Berechnen Sie das Volumen. 3.25 Präsenzaufgabe 3 Drehmoment und Drehimpuls Ein Körper der Masse 2 kg sei an einer 1,5 m langen Schnur befestigt und bewege sich auf einer horizontalen Kreisbahn als konisches Pendel (siehe Abb.). Der Winkel zwischen der Schnur und der Vertikalen beträgt Θ = 30◦. a) Zeigen Sie, dass der Drehimpuls der Masse relativ zum Aufhängungspunkt P sowohl eine horizontale Komponente in Richtung zum Kreismittelpunkt als auch eine vertikale Komponente hat. Bestimmen Sie beide Komponenten. Tipp: Bestimmen Sie zunächst die Bahngeschwindigkeit, die nötig ist, um das Pendel auf einer Kreisbahn zu halten. b) Berechnen Sie den Betrag von dL/dt und zeigen Sie, dass er gleich dem Betrag des Drehmoments ist, das die Gravitation auf den Aufhängungspunkt ausübt. Aufgabe 1 Zentralkraft Ein Klotz der Masse m gleitet auf einem reibungsfreien Tisch. Er ist an einer Schnur befestigt, die durch ein Loch im Tisch verläuft. Anfangs bewegt sich der Klotz mit der Geschwindigkeit v1 auf einer Kreisbahn mit Radius r1 . Stellen Sie Ausdrücke auf für a) den Drehimpuls des Klotzes (Betrag), 2 b) die kinetische Energie des Klotzes, c) die Zugkraft in der Schnur (Betrag). d*) Ein Student unter dem Tisch zieht nun die Schnur langsam nach unten. Welche Arbeit muss er aufwenden, um den Radius der Kreisbahn von r1 auf r2 = 0, 5r1 zu reduzieren? Aufgabe 2 Zentrifugalkraft In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Lösung des Keplerproblems eine Kreisbahn ist, wenn die Gesamtenergie E gegeben ist durch E = min Uef f (r) mit Uef f = r>0 L20 α − 2 2mr r (1) (L0 : Drehimpuls; α = GmM ; G: Graviationskonstante; M: Masse des zentralen Körpers; m: Masse des Körpers auf der Kreisbahn). a) Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn. b) Berechnen Sie die Energie E für die Kreisbahn. ∂U c*) Die Bestimmungsgleichung ∂ref f = 0 für den Radius der Kreisbahn kann auch als Kräftegleichgewicht zweier Kräfte auftefasst werden. Zeigen Sie, dass die eine Kraft gerade ~ ZF = mv 2~er /r, wobei v der die Gravitationskraft ist und die andere die Zentrifugalkraft K Betrag der Geschwindigkeit ist. d*) In Welcher Entfernung vom Erdmittelpunkt muss man einen Satelliten auf einer Kreisbahn stationieren, damit er immer über demselben Längengrad bleibt (geostationäre Umlaufbahn)? Hinweis: Gravitationskonstante G = 6, 6742 · 10−11 m3 /kgs2 , Erdmasse M = 5, 5972 · 1024 kg Aufgabe 3 Leiter Eine homogene Leiter der Masse m und der Länge l lehnt in einem Winkel θ an einer reibungsfreien Wand. Hinweis: Denken Sie sich dazu die Masse der Leiter als eine Punktmasse, welche sich im Schwerpunkt (Mitte der Leiter) befindet. 3 a) Wie groß ist das Drehmoment des Schwerpunkts bezüglich des Drehpunkts A (Betrag)? b) Wie groß ist die Kraft, die die Wand bei B auf die Leiter ausübt (Betrag)? c*) Die Haftreibungskraft ist gegeben durch FH = µH FSenkrecht , wobei µH die Haftreibungszahl ist. FH ist dabei die maximale Kraft, die tangential zur Oberfläche auf einen reibungsbehafteten Körper wirkt, bevor dieser zu gleiten beginnt. Bestimmen Sie den minimalen Winkel θ , bei dem die Leiter nicht wegrutscht, wenn die Haftreibungszahl zwischen Leiter und Boden µH ist. 4
