Übungsblatt 5 - Lehrstuhl für Optik, Uni Erlangen

Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 1
Universität Erlangen–Nürnberg
WS 2011/12
Übungsblatt 5 (13.01.2012)
Vorlesungen: Mo, Mi, jeweils 08:15 - 09:50 HG
Übungen: Fr 08:15 - 09:45 oder Fr 12:15 - 13:45 14tägig
———————————
1) Kepler’sche Gesetze
Planeten werden in sehr guter Näherung von der Gravitationskraft eines selbst in Ruhe befindlichen Zentralgestirns beschleunigt. Hieraus resultieren elliptische Planetenbahnen, wobei sich das Zentralgestirn (in unserem Fall
die Sonne) in einem der beiden Ellipsenbrennpunkte befindet.
(a) Zeigen Sie, dass der Drehimpuls L = r(t) × p(t) der Planeten bezüglich des Mittelpunkts des Zentralgestirns
zeitlich konstant ist.
(b) Nehmen Sie zur Vereinfachung des im Folgenden verlangten Beweises eine kreisförmige Planentenbahn an
und zeigen Sie: Das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten um sein Zentralgestirn ist proportional zur dritten Potenz des Bahnradius, wobei die Proportionalitätskonstante nur von der Masse des Zentralgestirns abhängt (drittes
Kepler’sches Gesetz). Hinweis: Gravitations- und Zentripetalkraft könnten weiterhelfen.
(c) Berechnen Sie die Masse unserer Sonne aus der Dauer eines Umlaufs der Erde um die Sonne und dem Abstand
zwischen Sonne und Erde (150 Millionen km) mit Hilfe des Ergebnisses aus Aufgabenteil (b) und der Gravitationskonstante (G = 6,67 · 10−11 m3 kg−1 s−2 ).
2) Kreisel
Ein Kinderkreisel dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von ω = 20 1s um seine Symmetrieachse, wobei er
sich von oben betrachtet gegen den Uhrzeigersinn dreht. Diese Achse sei zunächst vertikal und der Schwerpunkt
des Kreisels sei r = 0.10 m über der Auflagefläche. Der Kreisel hat die Masse m = 0.10 kg und ein Trägheitsmoment I = 0.001 kg m2 .
⃗ des Kreisels. Geben Sie Betrag und Richtung an.
(a) Berechnen Sie den Drehimpuls L
(b) Durch eine Störung wird die Drehachse des Kreisel um α = 10◦ geneigt. Wie ändert sich der Drehimpuls?
⃗ Geben Sie Betrag und Richtung an.
Der Kreisel erfährt nun im Schwerefeld der Erde ein Drehmoment D.
⃗ ⊥L
⃗ ist. Diskutieren Sie qualitativ, wie das Drehmoment die Drehbewegung ändert.
(c) Zeigen Sie, dass D
1
3) Gedämpfte Schwingung
Sie hängen einen m = 1 kg schweren Stein an einen 20 cm langen elastischen Faden, welcher als Feder unbekannter Federkonstante k betrachtet werden soll. Dieses Federpendel schwingt periodisch mit einer Kreisfrequenz
von ω, wobei bei maximaler Auslenkung der Faden auf seine zweifache Länge gedehnt wird. Verwenden Sie
g ≈ 10 m s−2 .
(a) Bestimmen Sie die Federkonstante k. Verwenden Sie dazu Energieerhaltung: Nach dem Anhängen des Steins
an die Feder fällt der Stein aufgrund der Schwerkraft nach unten und dehnt dadurch die Feder. Die Feder wird
am unteren Umkehrpunkt um h = 20 cm gedehnt, wobei die potentielle Energie des Steines in Spannenergie der
Feder umgewandelt wird.
(b) Wie lange braucht der Stein für die Bewegung vom tiefsten Punkt zum höchsten Punkt der Schwingung?
(c) Nun tauchen Sie das Seil in einen See. Dort erfährt das Pendel eine geschwindigkeitsabhängige Dämpfung
und die Differentialgleichung, die das Problem beschreibt, lautet:
m ẍ(t) + b ẋ(t) + k x(t) = 0
(1)
Diese Differentialgleichung hat die Lösung:
))
( (
b
′
x(t) = d exp t iω −
2m
|
{z
}
(2)
α
Dabei muss am Ende noch der Realteil der i.a. komplex–wertigen Lösung genommen werden. x(t) oszilliert um
die Ruhelage x = 0 mit der Amplitude d = h2 . Bestimmen Sie die neue Kreisfrequenz ω ′ . Bilden Sie dazu die
Ableitungen ẋ(t) und ẍ(t) aus (2) und setzen diese in (1) ein.
(d) Berechnen Sie die Schwingung x(t) für drei verschiedene Fälle von b: b1 = 5 kg s−1 , b2 =
b3 = 30 kg s−1 . Skizzieren Sie jeweils den Verlauf x(t) für 0 < t < 1 s.
2
√
4m k = 20 kg s−1