Institut für Physik Theoretische Physik

Institut für Physik
Theoretische Physik
Reinhard Alkofer, Julian Grond, Mario Mitter
Graz, den 4.52009
Übungen zur Vorlesung “Quantenmechanik”
— Blatt 7 —
Tutorium:
Der Hamiltonoperator eines starren Hantelmoleküls, welches im Raum um den Koordinatenursprung rotiert (“Rotator” mit den zwei Freiheitsgraden θ und φ), ist durch
Ĥ =
ˆl2
2I
gegeben. Dabei ist ˆl2 der Operator des Bahndrehimpulsquadrates und I das Trägheitsmoment.
a. Wie lauten die Eigenfunktionen und Eigenwerte des Hamiltonoperators Ĥ? Sind die
Energieeigenwerte entartet?
b. Es sei gelungen, zur Zeit t = 0 den Zustand mit der Wellenfunktion
ψ0 (θ, φ) = √
√
√
1 √
2 − 3 sin θe−iφ + 6 cos θ
24π
zu präparieren. Nach dieser Präparation führen Sie eine der folgenden Messungen durch:
i. Sie messen gleichzeitig die Drehimpulsquantenzahl l und Drehimpuls–z– Komponente m.
ii. Sie messen nur die Drehimpulsquantenzahl l.
iii. Sie messen nur die Drehimpuls–z–Komponente m.
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, die angegebenen Quantenzahlen zu messen?
c. Wie entwickelt sich der Zustand ψ0 unter dem Hamiltonoperator Ĥ im Laufe der Zeit? Mit
welcher Wahrscheinlichkeit messen Sie zur Zeit t > 0 für die Drehimpuls–z–Komponente
m̄ = 0?
Aufgabe 1:
Der Hamiltonoperator eines Systems sei durch
Ĥ ≡
ˆl 2
ˆl 2
ˆl 2
x
+ y + z
2Ix
2Iy
2Iz
gegeben, wobei ˆlx , ˆly und ˆlz die kartesischen Komponenten des Drehimpulsoperators seien. Ix ,
Iy und Iz seien von Null verschieden.
a. Berechnen Sie die Matrix hl′ m′ |Ĥ|lmi in den Drehimpulseigenzuständen |lmi. Benutzen
Sie hierzu die Ergebnisse aus Aufgabe 3 von Blatt 4.
b. Sei Ix ≡ Iy ≡ Iz ≡ I0 . Welche Eigenwerte und -funktionen hat Ĥ in diesem Fall?
c. Sei nun Ix ≡ Iy 6= Iz . Wie sehen die Eigenwerte und Eigenfunktionen Ĥ in diesem Fall
aus?
d. Sei nun Ix 6= Iy 6= Iz sowie l = 1. Berechnen Sie die Eigenwerte von Ĥ für diesen Fall.
e. Welche Eigenfunktionen gehören zu den Eigenwerten aus Teilaufgabe d?
Aufgabe 2:
Die Bindung zweier Atome der Massen m1 und m2 zu einem Molekül werde durch das Potential
b
b2
V (r) = g
−
2
2r
r
!
(g, b > 0)
beschrieben. Dabei ist r = |~x1 − ~x2 | der Abstand der beiden Atome. Bestimmen Sie in Analogie
zum Wasserstoffatom die Energieeigenwerte der gebundenen Zustände.
Aufgabe 3:
Ein Elektron der Masse me bewege sich im konstanten Magnetfeld der Stärke B in z-Richtung.
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass der zugehörige Hamiltonoperator durch
Ĥ = −
h̄2
me 2 2
∆+
ω (x + y 2 ) + ωL L̂z
2me
2 L
|e|B
die Larmorfrequenz bezeichnet.
gegeben ist, wobei ωL = 2m
e
Lösen Sie die zugehörige Schrödingergleichung für die Bewegung in der x-y-Ebene in Zylinderkoordinaten, und zeigen Sie, dass die Eigenenergien durch
Enρ m = 2h̄ωL
|m| + m 1
nρ +
+
2
2
!
,
nρ ∈ N , m ∈ Z
gegeben sind, wobei m die zu L̂z gehörige Quantenzahl ist.
Benutzen Sie hierzu zwei Methoden:
a. Benutzen Sie das Ergebnis aus Aufgabe 2 von Blatt 5 mit n = n+ + n− = 2nρ + |m|.
b. Machen Sie für die Wellenfunktion den Ansatz
ψ(ρ, φ) = e−imφ
|m|
ρ
b
−ρ2 /2b2
e
w(ρ/b) ,
b=
s
h̄
me ωL
und leiten Sie eine Eigenwertgleichung für die Funktion w(ρ/b) ab. Machen Sie nun einen
Potenzreihenansatz für w(ρ/b) und fordern Sie, dass die Potenzreihe nach endlich vielen
Gliedern abbricht.