ˆρ, ˆ H - Martin-Luther-Universität Halle

Fachbereich Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
K2-Lösungen
QUANTENMECHANIK
WS 2006/07
Aufgabe 1 (4P)
Da [ρ̂, Ĥ] = 0 haben ρ̂ und Ĥ ein gemeinsames System von Eigenfunktionen:
ρ̂ |ϕn i = e−β Ĥ |ϕn i =
∞
X
∞
X
(−β)k k
(−β)k k
Ĥ |ϕn i =
En |ϕn i = e−β En |ϕn i.
k!
k!
k=0
k=0
Eigenfunktionen sind also |ϕn i und Eigenwerte exp(−β En ).
Aufgabe 2 (8P)
|ψi ist kein Eigenzustand von Ĥ, da Ĥ|ψi =
4
3i
E1 |1 0 0i + E2 |2 1 1i und E1 6= E2 ist, d.h Ĥ|ψi =
6
5
5
E |ψi.
Berechnung der Erwartungswerte:
3i
4
Aus Ĥ |n l mi = En |n l mi folgt Ĥ|ψi = E1 |1 0 0i + E2 |2 1 1i. Nun muß man von links hψ| =
5
5
4
3i
h100| − h211| multiplizieren und die Orthogonalität der Funktionen |nlmi ausnutzen:
5
5
hĤi = hψ|Ĥ|ψi =
16
9
ǫ2 73
E1 +
E2 = −
.
25
25
2a0 100
(Man beachte, daß bei der Bildung von hψ| die konjugiert komplexen Konstanten zu nehmen sind!)
9
Aus lˆz |nlmi = h̄m |nlmi folgt hˆlz i =
h̄.
25
18 2
ˆ
ˆ
h̄ .
Mit ~l 2 |nlmi = h̄2 l(l + 1) |nlmi erhält man h~l 2 i =
25
Aufgabe 3 (4P)
ˆ
Der Operator Ĥ hat dieselben Eigenfunktionen wie ~l 2 , was gerade die Kugelflächenfunktionen |Ylm i ≡
1 2
|lmi sind. Die Eigenwerte erhält aus Ĥ |lmi =
h̄ l(l + 1) |lmi mit l = 0, 1, 2 . . . und m =
2Θ
−l, −l + 1, . . . , l.
Entartung: Jeder Eigenwert ist 2l + 1-fach entartet.
Aufgabe 4 (8P)
Zeitabh. Störungsrechnung mit V1 (t) = k1 x e−λ t , wobei der Anfangszustand der Grundzustand und
der Endzustand der erste angeregte Zustand des eindim. harmonischen Oszillators sind:
(1)
cn=1 (t
1
→ ∞) =
ih̄
Z∞
0
i/h̄(E1 −E0 )t
e
k1
hϕ1 |V1 (t)|ϕ0 i =
hϕ1 |x|ϕ0 i
ih̄
Z∞
0
e(iω−λ)t .
Ausführung der Zeitintegration:
Z∞
e(iω−λ)t . =
0
Berechnung hϕ1 |x|ϕ0 i m.H. x =
hϕ1 |x|ϕ0 i =
s
s
e(iω−λ)t ∞
−1
|0 =
.
iω − λ
iω − λ
h̄
(â† + â) ergibt
2mω
h̄
hϕ1 |â† + â|ϕ0 i =
2mω
s
h̄
hϕ1 |ϕ1 i =
2mω
s
h̄
.
2mω
(â† |ϕ0 i = |ϕ1 i; â|ϕ0 i = 0)
Übergangswahrscheinlichkeit für n = 1:
|c1 |2 =
1
k12
.
2
2mh̄ω λ + ω 2
Aufgabe 5 (4P)
Die Zeitableitung des Erwartungswertes eines Operators, der nicht explizit von der Zeit abhängt
erhält man aus
d ˆ
i
2 i ωL
h~si = h [Ĥ, ~ˆs ] i =
h [ŝz , ~ˆs ] i.
dt
h̄
h̄
Mit ~ˆs = (ŝx , ŝy , ŝz ) und den Vertauschungsrelationen für Drehimpulse folgt dann:
d ˆ
h~si = 2 ωL h(−ŝy , ŝx , 0)i.
dt