Gewöhnliche Differentialgleichung: NWI

Gewöhnliche Differentialgleichung: NWI
-Sophiane YahiateneAufgabe 11.1
1. Ordnung
Die Differentialgleichung y 00 (t) = −cy(t) mit c > 0 ist äquivalent zu folgendem System
0 z1 (t)
0 1
z1 (t)
=
.
z2 (t)
−c 0
z2 (t)
Nun gilt
0
−ct
√
i ct
0
1
√
i
√
i ct
c
0
1
√i
i
− √c
t
=
0
1
i
− √c
=
1
i
−1
− √c √ic
0
√
−i ct
1
1
!
√
i
i c 1 − √c
0
√
−i ct
−1 − √ic
2
c
und somit ist
i√ct
e
c
0
1
√i
i
− √c
2i
0
t
Φ1 (t) = − √ exp
=
−ct 0
c
1
√
=
√
− √ic (ei ct + e−i
√
√
ei ct − e−i ct
ct
)
0√
e−i
!
ct
1 − √ic
−1 − √ic
!
√
√
1 −i ct
i ct
c (e √ − e √)
− √ic (ei ct + e−i ct )
eine Fundamentalmatrix.
Man kann auch folgende übersichtlicheren Fundamentalmatrizen wählen
√
i√ct
e−i ct
e
√ −i√ct
Φ2 (t) = √ i√ct
i ce
−i ce
oder die relle Matrix
Φ3 (t) =
√
√
cos( ct)
ct)
√
√
√sin( √
− c sin( ct)
c cos( ct)
welche man durch linear Kombinationen der beiden Spalten von Φ1 erhält. Die Spalten der Matrizen
sind verschiedene Basen für den selben Lösungsraum.
Nun ist also die allgemeine Lösung des Systems
√
√
z1 (t)
αei√ct + βe−i ct √
√
√
=
z2 (t)
αi cei ct − βi ce−i ct
und die der Differentialgleichung y 00 (t) = −cy(t)
y(t) = αei
√
ct
+ βe−i
√
ct
,
wobei α, β Konstanten sind.
Aufgabe 11.2
Die Lagrange Funktion lautet
L=T −U =
m 2 γM m
ṙ +
.
2
r
Die Euler-Lagrange Differentialgleichungen lautet nun
d∂ ∂
γM m
mr̈ =
L (t, r, ṙ) =
L(t, r, ṙ) = − 2 .
dt ∂ ṙ
∂r
r
Für m 6= 0 erhält man nun die explizite Differentialgleichung 2. Ordnung
r̈ = −
1
γM
.
r2
Der Ausdruck T (r, ṙ) + U ((r, ṙ) ist eine Erhaltungsgröße, denn es gilt
d
d m
γM m
(T (r, ṙ) + U ((r, ṙ)) = ( ṙ2 −
)
dt
dt 2
r
γM m
= mr̈ṙ + ṙ 2
r
γM m
γM m
= −ṙ 2 + ṙ 2
r
r
= 0.
Aufgabe 11.3 Berechne die Fluchtgeschwindigkeit der Masse m aus Aufgabe 11.2 in Abhängigkeit vom
Abstand r.
Durch folgenden Trick kann die Differentialglichung r̈ = − γM
r 2 von Aufgabe 11.2 in eine Differentialgleichung 1. Ordnung transformieren.
Betrachte die Differentialgleichung y 00 = f (y) und setze z(x) = (y 0 (x))2 . Nach der Kettenregel gilt
z 0 (x) = 2y 0 (x)y 00 (x) = 2y 0 (x)f (y(x)) = 2(F (y(x)))0 ,
wobei F eine Stammfunktion von f ist. Durch Integration folgt schließlich
z(x) = y 0 (x)2 = 2F (y(x)) + C,
wobei C eine Konstante ist.
Für f (r) = − γM
r 2 ist F (r) =
algleichung 1. Ordnung
γM
r
+ C eine Stammfunktion und mit dieser erhält man nun die Differenti-
γM
+ C̃,
r
also die Geschwindigkeit zum Quadrat in Abhängigkeit des Abstands.
Alternativ kann man auch die Erhaltungsgröße T + U nutzen und erhält dasselbe Ergebnis.
ṙ2 = 2
C =T +U =
⇔ ṙ2 = 2
m 2 γM m
ṙ −
2
r
γM
+ C̃
r
Seien nun r(0) = R > 0 und ṙ(0) = v0 ≥ 0 die Anfangswerte der Differentialgleichung r̈ = − γM
r 2 , so gilt
γM
γM
+ C̃ = 2
+ C̃
r(0)
R
2γM
⇔ C̃ = v02 −
.
R
v02 = ṙ(0)2 = 2
Bemerkung: Es ist C̃ =
tems ist.
2·∆E
m ,
wobei ∆E die Differenz der kinetischen und potentiellen Energie des Sys-
Betrachte nun folgende Fälle:
1. C̃ = 2·∆E
m < 0:
Wenn die potentielle größer als die kinetische Energie ist, also C̃ < 0, so beschreibt
q
 2 γM + C̃
; 2 γM
r ≥ |C̃|
qr
ṙ =
γM
− −(2
sonst
r + C̃) ;
die Geschwindigkeit des Körpers m in Abhängigkeit des Abstands r. Der Abstand rU = − 2γM
ist
C̃
der Umkehrpunkt, d.h. die Geschwindigkeit ist 0 und ab da an bewegt sich die Masse m auf M zu.
Der Schwung reicht also nicht aus.
2. C̃ = 2·∆E
m > 0:
Hier ist die potentielle kleiner als die kinetische Energie, also C̃ > 0 und man erhält damit
r
γM
ṙ = 2
+ C̃.
r
p
Es gilt also ṙ(t) ≥ C̃ > 0, d.h. der Schwung ist ausreichend.
2
3. C̃ = 2·∆E
m = 0:
Bei gleich großen Energien, gilt
r
ṙ =
2
γM
.
r
Diese Differentialgleichung ist vom Typ ’Trennung der Variablen’, so gilt
r
Z r
Z tp
p
√
3
2 3 2 3
(r 2 − R 2 ) =
u2 =
u du =
2γM dτ = t 2γM
3
3
R
0
R
3 2
3p
⇒r=
2γM t + R 2 3
2
3 − 1 p
3p
⇒ ṙ =
2γM t + R 2 3 2γM .
2
q
Die Fluchtgeschwindigkeit lautet also v0 = ṙ(0) = 2γM
R .
Aufgabe 11.4
Die Euler-Lagrange Differentialgleichung für ein ebenes Pendel lautet:
g
φ00 (t) = − sin(φ(t))
r
Die linearisierte Differentialgleichung lautet:
g
φ00 (t) = − φ(t)
r
Für g = r = 1 und φ(0) = π3 , φ0 (0) = 0 ist auf folgender Grafik die exakte Lösung der linearisierten
φ(t) = π3 cos(t) und eine Approximation mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Verfahrens dargestellt.
Man erkennt, dass mit fortschreitender Zeit t die beiden Lösungskurven auseinanderlaufen. Dies liegt
daran, dass der Sinus nur für ’kleine’ Argumente von der Identität gut approximiert wird.
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