span(1, X, X2,...,Xn) - Mathematik, TU Dortmund

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LÖSUNG ÜBUNGSBLATT P1 - AUFGABE 3
DR. TOM KRANTZ
Auf dem Raum Rn [X] := span(1, X, X 2 , . . . , X n ) ⊆ R[X] definiert man für p, q ∈
Rn [X] :
Z ∞
hp, qi :=
e−x p(x)q(x)dx.
0
(1) Zeigen Sie dass h·, ·i ein Skalarprodukt auf Rn [X] ist.
(2) Geben Sie eine Orthonormalbasis von R2 [X] an.
Lösung
R∞
(1) h·, ·i ist linear im ersten Argument: hαp + βq, ri = 0 e−x (αp(x) + βq(x))r(x)dx =
αhp, ri + βhq, ri für α, β ∈ R und p, q, r ∈ Rn [X].
h·, ·i ist symmetrisch: hp, qi = hq, pi für alle p, q ∈ Rn [X].
h·, ·i ist positiv definit: hp, pi > 0 für p 6= 0 in Rn [X]. Dies folgt daraus, dass für
p 6= 0 die Funktion f (x) := e−x p(x)p(x) stetig ist,R dass f ≥ 0 und f 6= 0. Für eine
∞
stetige, von null verschiedene Funktion f ≥ 0 gilt: 0 f (x)dx > 0.
Rb 0
Rb
(2) Es gilt die Formel für partielle Integration a f g = [f g]ba − a f g 0 für alle Funktionen
f, g ∈ C 1 und a, b ∈ R. Die Formel gilt auch im Falle a = 0, b = ∞ durch Übergang
zu den Grenzwerten, falls diese endlich sind.
Erinnert sei auch daran, dass limx→∞ e−x xk = 0 für jedes k.
Man erhält
R ∞ leicht:
h1, 1i = 0 e−x dx = [−e−x ]∞
0 = 1,
R∞
R∞
−x
h1, Xi = 0 e−x xdx = [−e−x x]∞
)dx = 0 − (−1) = 1,
0 − 0 (−e
R ∞ −x 2
R∞
−x 2 ∞
hX, Xi = 0 e x dx = [−e x ]0 − 0 (−e−x )2xdx = 2,
R∞
h1, X 2 i = 0 e−x x2 dx = 2,
R∞
R∞
2
−x
hX, X i = 0 e−x x3 dx = [−e−x x3 ]∞
)3x2 dx = 0 − 3 · (−2) = 6,
0 − 0 (−e
R ∞ −x 4
2
2
hX , X i = 0 e x dx = 4 · 6 = 24.
(Bemerkung: Per Induktion zeigt man leicht hX n , X m i = (n + m)! für n, m ganze
Zahlen ≥ 0.)
Man kann nun das Gram-Schmidt Orthonormalisierungsverfahren anwenden auf
das Erzeugendensystem (vi )i = (1, X, X 2 ).
Man definiert schrittweise e1 =
v1
,
kv1 k
en =
Pn−1
vn − i=1
hvn ,ei iei
.
P
kvn − n−1
i=1 hvn ,ei iei k
Man erhält so: e1 = 1;
e2
=
=
da kX − hX, 1i1k =
p
X − hX, 1i1
kX − hX, 1i1k
X − 1,
hX − 1, X − 1i =
Date: 22.10.2009.
1
p
hX, Xi − 2hX, 1i + h1, 1i = 1;
2
DR. TOM KRANTZ
e3
=
X 2 − hX 2 , X − 1i(X − 1) − hX 2 , 1i1
kX 2 − hX 2 , X − 1i(X − 1) − hX 2 , 1i1k
=
X 2 − (6 − 2)(X − 1) − 2
kX 2 − (6 − 2)(X − 1) − 2k
X 2 − 4X + 2
kX 2 − 4X + 2k
1 2
=
X − 2X + 1,
2
p
2
2
2
2
2
√ da kX −4X+2k = hX , X i − 8hX , Xi + 4hX , 1i + 16hX, Xi − 16hX, 1i + 4h1, 1i =
4 = 2.
Somit erhält man die ONB (1, X − 1, 12 X 2 − 2X + 1) von R2 [X].
=
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