LÖSUNG ÜBUNGSBLATT P1 - AUFGABE 3 DR. TOM KRANTZ Auf dem Raum Rn [X] := span(1, X, X 2 , . . . , X n ) ⊆ R[X] definiert man für p, q ∈ Rn [X] : Z ∞ hp, qi := e−x p(x)q(x)dx. 0 (1) Zeigen Sie dass h·, ·i ein Skalarprodukt auf Rn [X] ist. (2) Geben Sie eine Orthonormalbasis von R2 [X] an. Lösung R∞ (1) h·, ·i ist linear im ersten Argument: hαp + βq, ri = 0 e−x (αp(x) + βq(x))r(x)dx = αhp, ri + βhq, ri für α, β ∈ R und p, q, r ∈ Rn [X]. h·, ·i ist symmetrisch: hp, qi = hq, pi für alle p, q ∈ Rn [X]. h·, ·i ist positiv definit: hp, pi > 0 für p 6= 0 in Rn [X]. Dies folgt daraus, dass für p 6= 0 die Funktion f (x) := e−x p(x)p(x) stetig ist,R dass f ≥ 0 und f 6= 0. Für eine ∞ stetige, von null verschiedene Funktion f ≥ 0 gilt: 0 f (x)dx > 0. Rb 0 Rb (2) Es gilt die Formel für partielle Integration a f g = [f g]ba − a f g 0 für alle Funktionen f, g ∈ C 1 und a, b ∈ R. Die Formel gilt auch im Falle a = 0, b = ∞ durch Übergang zu den Grenzwerten, falls diese endlich sind. Erinnert sei auch daran, dass limx→∞ e−x xk = 0 für jedes k. Man erhält R ∞ leicht: h1, 1i = 0 e−x dx = [−e−x ]∞ 0 = 1, R∞ R∞ −x h1, Xi = 0 e−x xdx = [−e−x x]∞ )dx = 0 − (−1) = 1, 0 − 0 (−e R ∞ −x 2 R∞ −x 2 ∞ hX, Xi = 0 e x dx = [−e x ]0 − 0 (−e−x )2xdx = 2, R∞ h1, X 2 i = 0 e−x x2 dx = 2, R∞ R∞ 2 −x hX, X i = 0 e−x x3 dx = [−e−x x3 ]∞ )3x2 dx = 0 − 3 · (−2) = 6, 0 − 0 (−e R ∞ −x 4 2 2 hX , X i = 0 e x dx = 4 · 6 = 24. (Bemerkung: Per Induktion zeigt man leicht hX n , X m i = (n + m)! für n, m ganze Zahlen ≥ 0.) Man kann nun das Gram-Schmidt Orthonormalisierungsverfahren anwenden auf das Erzeugendensystem (vi )i = (1, X, X 2 ). Man definiert schrittweise e1 = v1 , kv1 k en = Pn−1 vn − i=1 hvn ,ei iei . P kvn − n−1 i=1 hvn ,ei iei k Man erhält so: e1 = 1; e2 = = da kX − hX, 1i1k = p X − hX, 1i1 kX − hX, 1i1k X − 1, hX − 1, X − 1i = Date: 22.10.2009. 1 p hX, Xi − 2hX, 1i + h1, 1i = 1; 2 DR. TOM KRANTZ e3 = X 2 − hX 2 , X − 1i(X − 1) − hX 2 , 1i1 kX 2 − hX 2 , X − 1i(X − 1) − hX 2 , 1i1k = X 2 − (6 − 2)(X − 1) − 2 kX 2 − (6 − 2)(X − 1) − 2k X 2 − 4X + 2 kX 2 − 4X + 2k 1 2 = X − 2X + 1, 2 p 2 2 2 2 2 √ da kX −4X+2k = hX , X i − 8hX , Xi + 4hX , 1i + 16hX, Xi − 16hX, 1i + 4h1, 1i = 4 = 2. Somit erhält man die ONB (1, X − 1, 12 X 2 − 2X + 1) von R2 [X]. =