¨UBUNGSBLATT P2 Aufgabe 1 Sei V = R 2 die affine Ebene mit

ÜBUNGSBLATT P2
ANALYTISCHE GEOMETRIE - MAT105 (TEIL 2) - WS 2009/2010
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK, TU DORTMUND
PROF. DR. LORENZ SCHWACHHÖFER, DR. TOM KRANTZ
Aufgabe 1
2
Sei V = R die affine Ebene mit dem Standard-Skalarprodukt h·, ·i und p1 , p2 , p3 drei
Punkte in V , die nicht auf einer Geraden liegen. Sei φ : V → V eine Isometrie. Zeigen Sie
dass φ folgende charakteristische Punkte des Dreiecks (p1 , p2 , p3 ) auf die entsprechenden
Punkte von (φ(p1 ), φ(p2 ), φ(p3 )) abbildet:
(a) den Schwerpunkt,
(b) den Schnittpunkt der Höhen (Orthozentrum)
(c) den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden(Zentrum des Inkreises),
(d) den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten(Zentrum des Umkreises).
Welches gilt noch wenn man für φ : V → V nur annimmt, dass es eine affine Abbildung
ist? Begründen Sie ihre Antwort.
Aufgabe 2
n
Sei V = R mit dem Standard-Skalarprodukt h·, ·i, und sei φ = φ0 +y0 , mit φ0 = Lin(φ)
und y0 ∈ V , eine bijektive affine Abbildung von V nach V . Man sagt dass φ Winkel erhält,
wenn für alle u, v ∈ V ∠(u, v) = ∠(φ0 (u), φ0 (v)), wenn beide definiert sind.
Zeigen Sie dass φ Winkel erhält, genau dann wenn es ψ0 ∈ O(n, R) und λ ∈ R − {0}
gibt, so dass φ0 = λψ0 .
Hinweis: Betrachten Sie das Bild bezüglich φ0 einer orthonormierten Basis von V .
Date: 03.11.2009.