¨Ubungen zur Algebraischen Geometrie II
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Georg Hein
Sommersemester 2014
Übungen zur Algebraischen Geometrie II
Aufgabe 3.1. Seien X und Y zwei Schemata über Z = Spec(A), mit Morphismen f :
n
m
S
S
X → Z und g : Y → Z. Zeigen Sie: Sind X =
Xi und Y =
Yj zwei offene
i=1
j=1
affine Überdeckungen, so ist auch die Familie {Xi ×Z Yj }i=1,...,n j=1,...,m eine offene affine
Überdeckung des Faserprodukts X ×Z Y .
Herausforderung: Sind die Zahlen n und m minimal für affine offene Überdeckungen von
X und Y , ist dann auch n · m minimal für affine offene Überdeckungen von X ×Z Y .
Aufgabe
Sn 3.2. Sei f : X → Y = Spec(A) ein Morphimus zweier Schemata. Ferner sei
X = i=1 Xi eine offene affine Überdeckung mit Xi = Spec(Bi ). Ferner seien auch die
Durchschnitte Xij = Xi ∩ Xj affine, also Xij = Spec(Bij ). Zeigen Sie, dass die Diagonale
∆ : X → X ×Y X lokal auf Xi ×Z Xj durch den Ringhomomorphismus
α : Bi ⊗A Bj → Bij
α(bi ⊗ bj ) = αij (bi ) · αji (bj )
gegeben ist. Da bei ist αij : Bi → Bij der Ringhomomorphismus, der die offene Einbettung
Xij → Xi festlegt. Analog entspricht αji der offenen Einbettung Xij → Xj .
Aufgabe 3.3. Wir betrachten nun die affine Gerade X mit doppeltem Nullpunkt über
Y = Spec(k). Wir benutzen die Bezeichnungen aus Aufgabe 3.2:
X = U0 ∪ U1
U01 = Spec(k[z, z −1 ])
U0 = Spec(k[x])
α01 (x) = z
U1 = Spec(k[y])
α10 (y) = z
Zeigen Sie, dass f : X → Y nicht separiert ist!
Aufgabe 3.4. Diesmal wird X = P1k auf Separiertheit untersucht. Wieder ist Y =
Spec(k). Wir benutzen wieder die Bezeichnungen aus Aufgabe 3.2:
X = U0 ∪ U1
U01 = Spec(k[z, z −1 ])
U0 = Spec(k[x])
α01 (x) = z
Untersuchen Sie, ob X → Y separiert ist.
U1 = Spec(k[y])
α10 (y) = z −1
