Stochastik I, HU Berlin, SS 2013

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. Dr. U. Horst
Stochastik I SS 2013
Übungsblatt 1
1. [Formel von Sylvester] Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, n ∈ N und Ak ∈ A für alle
k ∈ {1, . . . , n}. Beweisen Sie die Formel von Sylvester:


!
n
n
[
X
X
(−1)l−1
P
Ak =
P (Ak1 ∩ . . . ∩ Akl ) .
k=1
{k1 ,...,kl }⊆{1,...,n}
l=1
Bestimmen Sie die rechte Seite z.B. mittels der Ergebnisse für Urnenmodelle.
2. [Übung zum Laplace Modell] Zu einer Tanzstunde kommen n Paare. Um für Abwechslung zu
sorgen, wird jeder Dame rein zufällig einer der Herren zugelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein ursprüngliches Paar miteinander tanzen wird? Bestimmen Sie
den Grenzwert dieser Wahrscheinlichkeit für n → ∞.
3. [Durchschnitt und Vereinigung von Ereignissen] Beim TÜV werden n Fahrzeuge überprüft.
Für i ∈ {1, . . . , n} bezeichne Ai das Ereignis das i-te Fahrzeug erhält die Prüfplakette“.
”
Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse durch mengentheoretische Verknüpfungen der Ereignisse Ai :
(a) mindestens eines der n Fahrzeuge erhält keine Plakette;
(b) kein Fahrzeug erhält eine Plakette;
(c) genau ein Fahrzeug erhält keine Plakette;
(d) höchstens ein Fahrzeug erhält eine Plakette.
4. [Hypergeometrische Verteilung] Für ganze Zahlen N ≥ 1, W ∈ {0, . . . , N }, n ∈ {0, . . . , N }
und w ∈ {0, . . . , W } gebe pN,W,n (w) die Wahrscheinlichkeit an, dass bei n-fachem Ziehen
(ohne Zurücklegen) aus einer Urne mit W weißen und N − W schwarzen Kugeln genau w
weiße Kugeln gezogen werden.
(a) Begründen Sie mit kombinatorischen Argumenten die Formel
N −W W
pN,W,n (w) =
n−w
w
N
n
.
(b) Weisen Sie anhand der Formel nach, dass pN,W,n eine Zähldichte auf Ω = {0, 1, . . . , W }
ist (diese definiert die hypergeometrische Verteilung).
(c) Berechnen Sie mit Hilfe dieser Formel die Wahrscheinlichkeit für k Richtige im Lotto 6
aus 49 (k ∈ {0, . . . , 6}).