10. ¨Ubungsblatt Quanteninformationstheorie

WS 2008/2009
Institut für Theoretische Physik C
Prof. Dr. U. Schollwöck
Dr. F. Heidrich-Meisner
10. Übungsblatt Quanteninformationstheorie
Präsenzübung 9.01.2009
Aufgabe 1: Two-level unitaries
Zeigen Sie, dass Abb. 1 eine two-level unitary realisiert, mit
a b
Ũ =
.
c d
Aufgabe 2: Verallgemeinerte Definition des Messprozesses
Wir diskutieren folgende Definition der quantenmechanischen Messung (vgl. Nielsen &
Chuang: Kapitel 2): Die quantenmechanische Messung wird beschrieben durch einen Satz
von Messoperatoren {Mm }. Der Index m bezeichnet das Ergebnis der Messung. |ψi sei der
Zustand vor der Messung. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, den Wert m zu erhalten:
†
p(m) = hψ|Mm
Mm |ψi.
Nach der Messung ist das System im Zustand:
M |ψi
pm
.
p(m)
Ausserdem verlangt man eine Vollständigkeitsrelation:
X
†
Mm = 1 .
Mm
m
Ũ
Abbildung 1: Schaltkreis zu Aufgabe 1: das erste Gatter ist eine kontrollierte NOT Operation
mit zwei Kontroll-Qubits, die den Wert 0 haben müssen, damit das Ziel-Qubit geändert wird.
Als Beispiel betrachten wir die Messung an einem Qubit mit M0 = |0ih0| und M1 = |1ih1|.
Der Zustand vor der Messung sei |ψi = a|0i + b|1i. Welchen Zustand erhält man nach der
Messung? Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man die Messergebnisse 0 bzw. 1? Rechnen
Sie die Vollständigkeitsrelation nach.
Was muss gelten, damit man die aus der Quantenmechanik bekannte Definition der
Messung erhält (die sogenannte projektive Messung)?
Aufgabe 3: Positive operator value measures
Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung am Zustand |ψi den Wert m zu finden, ist
†
†
p(m) = hψ|Mm
Mm |ψi (siehe Aufgabe 2). Man bezeichnet den Satz {Em } mit Em = Mm
Mm
als Positive operator value measure (POVM).
a. Zeigen Sie: Em ist ein positiver Operator und
b. Wann gilt Em = Mm ?
P
m Em
= 1.
Hinweis: Man kann den
P Messprozess alternativ über einen Satz von {Em } definieren, die (a)
positiv sind und (b) m Em = 1 erfüllen (wie definiert man dann die Mn ?).
Aufgabe 4: Identifizierung von Zuständen mit Hilfe von POVM
Alice sendet Bob ein präpariertes
Qubit, das entweder im Zustand |ψi1 = |0i oder im
√
Zustand |ψi2 = (|0i + |1i)/ 2 ist.
Bob verwendet dieses POVM:
E1
E2
E3
√
2
√ |1ih1|
=
1+ 2
√
2 (|0i − |1i)(h0| − h1|)
√
=
2
1+ 2
= I − E1 − E2 .
Was kann Bob aussagen, wenn er das zu (i) E1 , (ii) E2 oder (iii) E3 Messergebnis erhält?
(1)
(2)
(3)