Lösung 11.1a

Lösungsweg für Aufgabe 11.1a (quantenphysikalischer
Runge-Lenz-Vektor)
In der klassischen Mechanik ist der Bahndrehimpuls L eine Erhaltungsgröße des CoulombPotentials V (r) ∼ 1r . Der Runge-Lenz-Vektor ist gegeben durch
M=p×L−
me2 r
.
4π0 r
(1)
In der Quantenmechanik kommutieren die Operatoren p̂ und L̂ nicht. Man betrachtet
deshalb den symmetrisierten Operator
1
r̂
M̂ = (p̂ × L̂ − L̂ × p̂) − κ .
2
r
(2)
2
me
gesetzt haben.
wobei wir zur Vereinfachung κ = 4π
0
Wir wollen zeigen, dass das Quadrat dieses Operators gegeben ist durch
M̂2 = 2mĤ(L̂2 + 1) + κ2
2
(3)
2
p̂
e
wobei der Hamilton-Operator Ĥ = 2m
− 4π
benutzt wird und ~ = 1.
0r
Zunächst benötigen wir einige Identitäten für Vektoroperatoren:
 · (B̂ × Ĉ) = (Â × B̂) · Ĉ
(4)
(Â × B̂) × Ĉ) = (Â · B̂) · Ĉ − Â(B̂ · Ĉ) + Ai [B̂, Ci ],
(5)
wobei wir grundsätzlich Einsteinsche Summationskonvention verwenden. Diese Identitäten können mit Hilfe der Relation (Â × B̂)k = ijk Ai Bj hergeleitet werden. Z.B.
 · (B̂ × Ĉ) = Ai (ijk Bj Ck ) = (kij Ai Bj )Ck = (Â × B̂) · Ĉ.
Weiterhin benötigen wir die Begriffe Vektor- und Skalaroperator: Sie können anhand
der Kommutation mit dem Drehimpulsgenerators L̂ definiert werden. Ein Skalaroperator
S kommutiert, [Li , S] = 0, während für einen Vektoroperator  gilt: [Li , Aj ] = iijk Ak .
Man kann zeigen, dass x̂, p̂ und L̂ Vektoroperatoren sind und dass für allgemeine Vektoroperatoren  und B̂ gilt:
 · B̂ ist ein Skalaroperator
(6)
L̂ · Â = Â · L̂
(7)
Â × L̂ = −L̂ × Â + 2iÂ.
(8)
Wir berechnen jetzt M 2 :
1
M 2 = {(p̂ × L̂) · (p̂ × L̂) − (p̂ × L̂) · (L̂ × p̂) − (L̂ × p̂) · (p̂ × L̂) + (L̂ × p̂) · (L̂ × p̂)} (9)
4
1
r̂ 1 r̂
− (p̂ × L̂ − L̂ × p̂) · κ − κ · (p̂ × L̂ − L̂ × p̂) + κ2
2
r 2 r
Die folgenden Beziehungen werden dabei nützlich sein:
p̂ · (p̂ × L̂) = (p̂ × p̂) · L̂ = 0
1
(10)
(11)
p̂ · (L̂ × p̂) = p̂ · (2i × p̂ − p̂ × L̂) = 2ip2 .
(12)
Die Gl. (11) folgt aus (4) und aus p̂ × p̂ = 0 (folgt seinerseits aus [pi , pj ] = 0).
Wir beginnen die Berechnung von M 2 mit
−(L̂ × p̂) · (p̂ × L̂) =
=
=
=
−((L̂ × p̂) × p̂) · L̂, wg Gl. (4)
−((L̂ · p̂)p̂ − L̂p2 + Li [p̂, pi ]) · L̂, wg Gl. (5)
(L̂p2 ) · L̂, da L̂ · p̂ = (r̂ × p̂) · p̂ = r̂ · (p̂ × p̂) = 0
p2 L2 da p2 , als Skalarop. mit L̂ vertauscht.
(13)
(14)
(15)
(16)
Entsprechend erhält man
(p̂ × L̂) · (p̂ × L̂) = p2 L2
(17)
−(p̂ × L̂) · (L̂ × p̂) = p2 L2 + 4p2
(18)
(L̂ × p̂) · (L̂ × p̂) = p2 L2 .
(19)
Die nächsten vier Terme in M 2 erhält man mit [r̂, p̂] = 3i. Dann ist z.B.
r̂
1
L2
(L̂ × p̂) = L̂ · (p̂ × r̂) = − ,
r
r
r
(20)
wobei der letzte Schritt aus [L̂, 1r ] = 0 folgt (Kugelsymmetrie des 1/r-Potentials). Ausserdem erhält man
−(p̂ × L̂) ·
r̂
r̂
= −(−L̂ × p̂ + 2ip̂) ·
r
r
L2
1
= −( + 2i(r̂ · p̂ − 3i) )
r
r
L2
1
r̂
6
= −( + 2ir̂ · ( p̂ + i 3 ) + )
r
r
r
r
L2
r̂
4
= −( + 2i · p̂ + ),
r
r
r
(21)
(22)
(23)
(24)
wobei wir in der vorletzten Zeile
1
iri
[pi , ] = 3
(25)
r
r
benutzt haben (Gl. (25) erhält man nach Definition pi = −i ∂r∂ i und Anwenden des
Kommutators auf ein beliebige Funktion). Entsprechend leitet man
und
r̂
L2
− · (p̂ × L̂) = −
r
r
(26)
r̂
L2
r̂
· (p̂ × L̂) = − + 2i · p̂
r
r
r
(27)
her.
2
Zusammengenommen ergibt sich damit
κ L2 4
1 2 2
(4p L + 4p2 ) − (4 + ) + κ2
4
2 r
r
κ 2
2
2
= p (L + 1) − 2 (L + 1) + κ2
r
κ
2
2
= (p − 2 )(L + 1) + κ2
r
= 2mH(L2 + 1) + κ2
M2 =
3
(28)
(29)
(30)
(31)