WKB-Näherung

WKB-Näherung
Adrian Braemer
13. Dezember 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Herleitung
2.1 Grundgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Gültigkeitsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Anschlussformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
4
5
3 Beispiele
3.1 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Wasserstoffatom - Energieniveaus . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
9
4 Anhang
10
1
1
Einleitung
Das Prinzip hinter dieser Näherung ist deutlich älter als die Quantenmechanik und erscheint schon um 1817 in einer Arbeit im Bereich der Himmelsmechanik. Im Lauf der Jahre wird das Verfahren auch in vielen anderen
Bereichen der Physik eingesetzt, z. B. in der Akustik und Optik.
Als im Jahr 1926 die Schrödingergleichung entdeckt wurde, suchte man
nach Möglichkeiten diese zu lösen bzw. Lösungen zu näheren. Die Physiker Wentzel[5], Hendrik Anthony Kramers[2] und Leon Brillouin übertrugen
noch im selben Jahr unabhängig und gleichzeitig das Näherungsverfahren
auf die Quantenmechanik.
Die WKB-Näherung erlaubte es schon früh eine Vielzahl von quantenmechanischen Phänomenen näherungsweise ohne die Hilfe von leistungsfähigen
Computern zu berechnen. Sie hat damit eine große historische Bedeutung.
Heutzutage ist sie allerdings eher selten in Verwendung, da sie der Störungsrechnung
deutlich unterliegt, die auf modernen Computern sehr gut zu berechnen ist.
Alternative Bezeichnungen sind unter Anderem semiklassische Näherung,
adiabatische Näherung oder Liouville-Green Methode.[1]
2
Herleitung
Der Übergang von Quantenmechanik zu klassischer Mechanik wird i. A.
durch den Grenzübergang ~ → 0 realisiert. D. h. die niedrigste Potenz von
~ gibt das Verhalten des Systems im klassischen Grenzfall. Dies motiviert,
dazu die Wellenfunktion in Potenzen von ~ zu entwickeln und die niedrigen
Ordnungen zu betrachten. Diese geben damit das semiklassische Verhalten
unseres Systems wieder.
Dies macht a priori nicht bei jedem System Sinn, da i. A. nicht jedes quantenmechanische System quasi-klassische Eigenschaften aufzeigen muss. Im
Einzelnen ist also zu prüfen, wie gut die Näherungslösung das tatsächliche
System beschreibt.
2.1
Grundgleichung
Ausgehend von der stationären Schrödingergleichung
[E − V (x)]ψ(x) =
−~2 ∂ 2 ψ
(x)
2m ∂x2
1
(1)
macht man o. B. d. A. den Ansatz
i
ψ(x) = e ~ σ(x)
1
(2)
Es gibt verschiedene Wege die Grundformeln herzuleiten. Der hier gezeigt Weg ist
nach [3]
2
wobei σ(x) ∈ C, sodass keine separate Amplitudenfunktion benötigt wird.
Eingesetzt in Gl. 1 findet man2 :
#
"
i
i 0 2 i 00 i σ
σ
2
2m[E − V ]e ~ = −~
σ
+ σ e~
(3)
~
~
⇔
2m[E − V ] = σ 02 − i~σ 00 (x)
(4)
Um die klassischen Anteile des Systems zu bestimmen, wird σ als Potenzreihe in ~ entwickelt
2
~
~
σ2 + ...
(5)
σ = σ0 + σ1 +
i
i
Entwickeln wir also Gl.4 in Ordnung O(~2 ) erhalten wir das einfache Resultat:
p
σ00 = ± 2m[E − V ] := ±p
(6)
Z
⇒
σ0 (x) = ± p dx
(7)
p
Die Definition von p(x) = 2m[E − V (x)] entspricht gerade dem klassischen Impuls des Teilchens3 !
Die Entwicklung erster Ordnung bringt keinen großen Erkenntnisgewinn,
daher setzt man die Entwicklung fort. Für O(~) von Gl. 4 ergibt sich
~
0 = 2 σ00 σ10 − i~σ000
i
σ 00
σ10 = − 00
2σ0
⇔
(8)
(9)
Per Integration erhält man
1
σ1 = − ln p
2
(10)
Setzt man die erhaltenen Ausdrücke in unseren Ansatz für die Wellenfunktion (Gl. 2) erhält man die Grundformel der WKB-Näherung (A,B Konstanten):
i
i~
i
i~
ψ = Ae ~ σ0 + ~i σ1 + Be− ~ σ0 + ~i σ1
− 21
i
σ
~ 0
− 12
− ~i σ0
= Ae ln p e
+ Be ln p e
R
i
A iR 0 0
B
0
0
= √ e ~ p(x ) dx + √ e− ~ p(x ) dx
p
p
(11)
(12)
(13)
2
Im Folgenden werden die Argumente der Funktionen zwecks Übersichtlichkeit weggelassen
p2
3
Aus z.B. Hamilton Mechanik E = H = 2m
+ V (x)
3
Die Integrationsgrenzen in den Exponenten sind beliebig (innerhalb des klassisch erlaubten Bereichs) zu wählen, da eventuell auftretende Konstanten
mit in den Konstanten A, B verschwinden. Diese bestimmt man aus den
Randbedingungen und der Normierung.
In klassisch verbotenen Bereichen (sprich: E < V (x)) ist p(x) imaginär,
sodass man zwei exponentielle Teilfunktionen erhält:
R
1
D 1R 0
C
0
0
0
(14)
ψ = p e− ~ |p(x )| dx + p e ~ |p(x )| dx
|p|
|p|
Allerdings macht im Rahmen der Näherung nur der abfallende Term Sinn,
da nur dieser der physikalischen Realität entspricht. Alternativ kann man
über die Normierbarkeitsbedingung argumentieren.
Man könnte die Entwicklung jetzt noch fortsetzen, aber i. d. R. liefern die
Terme höherer Ordnung nur noch kleine Korrekturen.
2.2
Gültigkeitsbereich
Während der Entwicklung von σ in der ersten Ordnung (Gl. 4 zu Gl. 6 )
wurde angenommen, dass
⇔
⇔
|i~σ000 | |σ002 |
~σ 00 0
0 1
σ0 d ~
1
dx σ00 Mit σ00 = p und der DeBroglie-Wellenlänge λ =
dλ << 2π
dx 2π~
p
(15)
(16)
(17)
erhält man die Form
(18)
Also die Bedingung, dass sich die Wellenlänge des Teilchens nur langsam
mit dem Ort ändert.
Alternativ betrachtet man die Ableitung
dp
dp
m
dV
=
2m[E − V (x)] = − p
(19)
divx
dx
2m[E − V (x)] dx
mF
=
(20)
p
mit der klassischen Kraft F = − dV
dx . Setzen wir diese Ableitung bei Gl. 17
ein
d ~ ~ dp =
(21)
dx p p2 dx 1
⇒
m~|F |
1
p3
4
(22)
Hier sieht man, dass die Näherung für p → 0 nicht mehr hält. Mit anderen
Worten: In der Umgebung von Umkehrpunkten der klassischen Bewegung
beschreibt dieser Ansatz das System nicht mehr.
2.3
Anschlussformeln
Ein Quantensystem bzw. eine Schrödingergleichung kann erst dann als vollständig
gelöst betrachtet werden, wenn man eine Wellenfunktion für den ganzen
Raum erhalten hat. Deshalb wird im Folgenden betrachtet, wie man die
WKB-Wellenfunktionen über klassische Umkehrpunkte hinweg verbindet.
Die so erhaltenen Formeln werden auch als Anschlussformeln bezeichnet.
Für die Herleitung wird angenommen, dass ein Umkehrpunkt bei 0 existiert, d. h. E = V (0), und das Potenzial dort positive Steigung hat, also
V 0 (0) > 0. Das bedeutet man erhält die oszillierende Wellenfunktion ψlinks
für den klassisch erlaubten Bereich (x < 0) und die exponentiell abfallende
Wellenfunktion ψrechts für den klassisch verbotenen Bereich (x > 0). Diese
sind gegeben durch:
R
R
i x
A
B
− i x p(x0 ) dx0
p(x0 )dx0
ψlinks (x) = p
e ~ x0
e ~ x0
+p
p(x)
p(x)
Rx
1
0
0
C
−
|p(x )| dx
e ~ x0
ψrechts (x) = p
|p(x)|
(23)
(24)
Um die diese zwei Wellenfunktionen zu verbinden, wird das Potenzial linear
um 0 herum genähert und die exakte Lösung dieses Potenzials stetig an
ψlinks und ψrechts angeschlossen4 . Man benötigt also für das Potenzial
⇒
V (x) ≈ E + xV 0 (0)
p
p(x) = −2mV 0 (0)x
(25)
(26)
eine Lösung der Schrödingergleichung
− ~2
⇒
∂ 2 ψp
(x) = 2m[E − V (x)] = 2mV 0 (0)x
∂x2
ψp00 (z)
(27)
− zψp (z) = 0
mit z := αx, α =
2mV 0 (0)
~2
1/3
(28)
Differentialgleichungen dieser Form werden von den Airy-Funktionen
Z
1 ∞
t3
Ai(z) =
cos( + zt)dt
(29)
π 0
3
Z
1 ∞
t3
t3
Bi(z) =
exp(− + zt) + sin( + zt)dt
(30)
π 0
3
3
4
Alternativ könnte man auch ψrechts komplex erweitern und auf einem Halbkreis in
der komplexen oberen Halbebene um die Singularität bei x = 0 herumlaufen und so die
Wellenfunktionen verbinden.
5
gelöst. Also ist ψp eine Linearkombination dieser Lösungen
ψp (z) = aAi(z) + bBi(z)
Um ψp stetig anschließen zu können, benutzt man die
stellungen

i
h
2
3/2 + π
 √ 1
(−z)
sin
3
4
π(−z)1/4
Ai(z) =
 √ 11/4 e−2z 3/2 /3
πz

h
i
2
3/2 + π
 √ 1
cos
(−z)
3
4
π(−z)1/4
Bi(z) =
 √ 11/4 e2z 3/2 /3
πz
(31)
asymptotischen Darx0
x0
x0
x0
Um diese benutzen zu können müssen wir annehmen, dass die Umgebung, in
der die WKB-Wellenfunktion zu schlecht wird, klein genug ist. Damit gibt
es einen Bereich, in dem die Näherung gut ist und die Airy-Funktionen ihre
asymptotische Darstellung annehmen. Diese Annahme steckt im Wesentlichen mit in der Grundannahme, dass man ein System mit semiklassischen
Eigenschaften betrachtet.
Beginnt man mit der rechten Seite des Umkehrpunkts erhält man für die
Wellenfunktionen5
R
1 x
C
0
0
ψrechts (x) = p
e− ~ 0 |p(x )| dx
(32)
|p(x)|
2
C
3/2
=√
e− 3 (αx)
(33)
1/4
~α(αx)
2
a
b
− 23 (αx)3/2
(αx)3/2
3
ψp (x) = √
e
e
+
(34)
√
2 π(αx)1/4
π(αx)1/4
(35)
Ein Koeffizientenvergleich ergibt
r
π
C
a=2
~α
und
b=0
(36)
Für die linke Seite wird eine ähnliche Rechnung gemacht
R
R
i 0
i 0
B
A
0
0
0
0
e ~ x p(x ) dx + p
e− ~ x p(x ) dx
ψlinks (x) = p
p(x)
p(x)
2
2
A
B
3/2
3/2
=√
e 3 i(−αx) + √
e− 3 i(−αx)
~α(−αx)1/4
~α(−αx)1/4
a
2
π
3/2
ψp (x) = √
sin
(−αx) +
3
4
π(−αx)1/4
h
i
2
1 iπ/4 2 i(−αx)3/2
2C
3/2
=√
e
e3
− e−iπ/4 e− 3 i(−αx)
~α(−αx)1/4 2i
5
Rx
0
|p(x0 )| dx0 =
Rxp
0
2mV 0 (0)x dx0 =
2
3
p
(2mV 0 (0)x3/2 = 32 ~(αx)3/2
6
(37)
(38)
(39)
(40)
Erneuter Koeffizientenvergleich liefert:
2C iπ/4
e
2i
π
= −iCei 4
2C −iπ/4
e
2i
π
= iCe−i 4
B=−
A=
(41)
(42)
Eingesetzt in ψlinks (Gl. 37) erhält man das finale Ergebnis.
R
R
i 0
i 0
iC
iC
0
0 iπ
0
0 iπ
e ~ x p(x ) dx − 4 + p
e− ~ x p(x ) dx + 4
ψlinks (x) = − p
p(x)
p(x)
!
Z 0
−iC
iπ
i
=p
p(x0 ) dx0 −
2i sin
~ x
4
p(x)
!
Z 0
2C
i
iπ
=p
cos
p(x0 ) dx0 +
~ x
4
p(x)
(43)
(44)
(45)
Die Rechnung für V 0 (0) < 0 verläuft analog. Danach kann man die Stelle
0 in den Rechnungen noch durch ein allgemeine Umkehrstelle a ersetzen
und man erhält die WKB-Anschlussformeln. Durch Einfügen von Beträgen
gelingt eine Darstellung, die unabhängig von V 0 ist:
Z
C
1 x
0
0
ψ(x) = p
exp − p(x )dx für E < V (x)
(46)
~ a
|p(x)|
Z x
π
1 2C
0
0
p(x )dx −
für E > V (x)
(47)
cos
ψ(x) = p
~ a
4
p(x)
3
3.1
Beispiele
Harmonischer Oszillator
Um die eben gewonnenen Formeln gleich anzuwenden betrachten wir ein
Teilchen mit Energie E im harmonischen Potenzial
1
V (x) = mω 2 x2
2
(48)
Man findet zwei Umkehrpunkte der klassischen Bewegung:
!
E = V (x)
r
⇔
x1/2 = ±
2E
mω 2
(49)
(50)
Für den klassisch erlaubten Bereich x1 ≤ x ≤ x2 ergeben sich also zwei
Wellenfunktionen, da durch beide Wendepunkte ein oszillierender Teil nach
7
Gl. 46 entsteht.
2C
cos
ψ1 (x) = p
p(x)
2C 0
ψ2 (x) = p
cos
p(x)
1
~
Z
x
π
p(x0 )dx0 −
4
x1
!
(51)
!
Z x2
Z x
0
2C
π
1
1
π
p(x0 )dx0 −
=p
p(x0 )dx0 +
cos −
~ x
4
~ x2
4
p(x)
(52)
Diese sollen aber identisch sein. Daraus folgt direkt, dass C und C 0 betragsmäßig gleich sein müssen. Außerdem sollen die Argumente der KosinusTerme sich höchsten um ein Vielfaches von π unterscheiden. Dadurch erhält
man die Bedingung:
Z
Z
1 x
π
π
1 x2
p(x0 )dx0 − + nπ
p(x0 )dx0 − =
(53)
~ x1
4
~ x
4
Z x2
1
0
0
π~
(54)
⇒
p(x )dx = n +
2
x1
Das entspricht gerade der Quantisierungsbedingung von Bohr und Sommerfeld aus der alten Quantenmechanik.6 Außerdem ist wichtig, dass an dieser
Stelle noch keine Eigenschaft des harmonischen Oszillators verwendet wurde
und obiges Resultat damit ganz allgemein für jedes gebundene System gilt!
Damit vereinfacht sich das Problem Eigenwerte einen komplizierten Operators zu finden auf das Lösen eines Integrals!
Mit Hilfe dieser Bedingung können wir nur die WKB-Energieniveaus berechnen:
p
p
p(x) = 2m(E − V (x)) = 2mE − m2 ω 2 x2
(55)
Z x2
E !
1
⇒
p(x)dx = π = n +
π~
(56)
ω
2
x1
1
⇒
E = ~ω n +
(57)
2
Dies ergibt sogar die exakten Energiewerte!7
Jetzt fehlt nur noch die Normierung. Dabei beschränkt man sich auf den
klassisch erlaubten Bereich, da sich bei semiklassischen System fast ausschließlich dort die Bewegung abspielt. Man sieht auch, dass außerhalb die
Wellenfunktion exponentiell abfällt und daher wird nur ein mit n sehr schnell
6
7
H
p dx = n~
Allerdings ist das die Ausnahme und nicht die Regel.
8
verschwindender Fehler gemacht.
Z
Z ∞
!
1=
|ψ|2 ≈ 4|C|2
−∞
≈ 2|C|2
x2
x1
Z x2
x1
r
⇒
C=
1
cos2 (...)
p(x)
(58)
dx
2|C|2 π
=
p(x)
mω
(59)
mω
2π
(60)
Hier wurde außerdem das Quadrat des Kosinus mit seinem Mittel über eine Periode ersetzt, da bei hinreichend großem n die Amplitude in diesem
Bereich als konstant betrachtet werden kann. Das ist äquivalent zu der ursprünglichen Bedingung, dass sich die Wellenlänge nur langsam mit dem Ort
ändert (s. Gl. 18).
Damit ist die finale WKB-Wellenfunktion
qfür den klassisch erlaubten Bereich
2E
x
des harmonischen Oszillators mit x2 = mω
2 (nach Gl. 50) und y = x :
2
!
Z
2C
1 x
π
0
0
ψW KB (x) = p
cos
p(x )dx −
(61)
~ x1
4
p(x)
"
#
s
Z xp
2
E
π
p
cos
=
2mE − m2 ω 2 x02 dx0 −
~ω x1
4
π x22 − x2
(62)
#
"
s
nπ
p
2
1
p
⇒ ψW KB (y) =
arcsin(y) + y 1 − y 2 +
cos n +
2
2
πx2 1 − y 2
(63)
Im Anhang (s. Abb. 1 bis 4) befinden sich Plots der Wellenfunktion im
Vergleich zur exakten Lösung für unterschiedliche Energien.
3.2
Wasserstoffatom - Energieniveaus
An dieser Stelle sollen nur die Energieniveaus mit Hilde der WKB-Methode
und nicht die gesamte Wellenfunktion berechnet werden. Mit dem üblichen
Seperationsansatz ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ) und der erneuten Substitution
von u(r) = rR(r) erhält man folgende Form der Radialgleichung:
!
~2 l(l + 1)
~2 d2 u
e2 1
−
+ −
+
u = Eu
(64)
2m dr2
4π0 r 2m r2
9
Von diesem Potenzialterm werden nun die klassischen Umkehrpunkte bei
einer Energie E gesucht.
r
a
a2
b
r1/2 =
±
+
(65)
2E
4E 2 E
e
(66)
mit
a = −4
π0
~l(l + 1)
b=
(67)
2m
Anschließend setzt man die Bedingung aus Gl. 54 ein und erhält für die
Energieniveaus
Z r2
1
p(r)dr = n +
π~
(68)
2
r1
ER
⇒
En = (69)
2
p
1
n − 2 + l(l + 1)
mit der Rydberg-Energie ER = −13.6eV . Dieses Resultat weicht doch deutlich von den bekannten Energieniveaus ab! Allerdings ist der Zentrifugalterm
mit l(l + 1) ein Ergebnis der exakten Quantenmechanik und passt daher
nicht mit der semiklassischen Rechnung zusammen. Korrekt wäre stattdessen (l + 21 )2 (Langer’s Regel[4]). Damit erhält man für l = 0 ebenfalls die
exakten Energien!
Literatur
[1] Wikipedia: WKB-Näherung.
https://de.wikipedia.org/wiki/
WKB-N%C3%A4herung. Auch englische Version. Stand: 02.12.2016.
[2] H. A. Kramers. Wellenmechanik und halbzahlige quantisierung. Zeitschrift für Physik, 39(10):828–840, 1926.
[3] E. L. L. Landau. L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik, vol. III, Quantenmechanik, 8th edn. (Akademie-Verlag,
Berlin, 1988.
[4] R. E. Langer. On the connection formulas and the solutions of the wave
equation. Phys. Rev., 51:669–676, Apr 1937.
[5] G. Wentzel. Eine verallgemeinerung der quantenbedingungen für die
zwecke der wellenmechanik. Zeitschrift für Physik, 38(6):518–529, 1926.
4
Anhang
10
Abbildung 1: Wellenfunktionen für n=0
Abbildung 2: Wellenfunktionen für n=1
11
Abbildung 3: Wellenfunktionen für n=2
Abbildung 4: Wellenfunktionen für n=5
12