6. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik I

Friedrich-Schiller Universität Jena
WiSe 16/17
6. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik I
Abgabe am Dienstag der 8. Semesterwoche in der Vorlesung.
Aufgabe 16:
(7 Punkte)
Betrachten Sie ein zweidimensionales System, dessen Hamiltonoperator in Matrixdarstellung
(bzgl. der Sz Eigenbasis) durch
2 0
H=
0 −1
gegeben ist.
(a) Stellen Sie den Zeitentwicklungsoperator in der Sz -Eigenbasis {|+i, |−i} dar und berechnen Sie den Zustand |ψ(t)i, wenn
1
i
|ψ(t = 0)i = √ |+i − √ |−i
2
2
ist. Zu welchen Zeitpunkten ist |ψ(t)i identisch mit dem ursprünglichen Zustand |ψ(0)i?
(b) Betrachten Sie den Operator
0 3
A=
.
3 0
Kann es sich um eine Konstante der Bewegung handeln? Geben Sie den Erwartungswert
von A im Zustand |ψ(t)i (also zu beliebigen Zeitpunkten) an.
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird im Zustand |ψ(t)i der Eigenwert λ = +3 gemessen?
Aufgabe 17:
(7 Punkte)
Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m im unendlich hohen eindimensionalen Potentialtopf
mit V = 0 für 0 ≤ x ≤ a und V = ∞ für x < 0 oder x > a.
(a) Man bestimme die normierten Wellenfunktionen im Ortsraum und das Energiespektrum.
(b) Betrachten Sie nun die beiden untersten Energiezustände als Zweiniveausystem und
nehmen Sie an, dass im Zustand |ψ, t =√0i die Wahrscheinlichkeitsamplitude für den
n = 2 Energiezustand um den Faktor 3 größer ist als für den Grundzustand. Wie
lautet die Wellenfunktion zur Zeit t = 0 bzw. t > 0?
(c) Berechnen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ(x, t)|2 = |hx|ψ, ti|2 .
Aufgabe 18:
(6 Punkte)
Zeigen Sie, dass die eindimensionale Schrödingergleichung mit dem Potential V (x) =
V0 aδ(x), V0 < 0, genau einen gebundenen Zustand mit Energie E < 0 besitzt und berechnen
Sie dessen Energie und Wellenfunktion.