Quantenmechanik I Wintersemester 2013/14 Aufgabenblatt 8

13. Dezember 2013
Quantenmechanik I
Wintersemester 2013/14
Aufgabenblatt 8
QMI8.1:
(a) Zeigen Sie, dass aus der Schrödinger-Gleichung die Kontinuitätsgleichung
∂
∂
ρ(x, t) +
j(x, t) = 0
(1)
∂t
∂x
folgt. Dabei ist ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 = ψ ∗ (x, t)ψ(x, t) die Wahrscheinlichkeitsdichte und
∂ ∗
~
∗ ∂
ψ
ψ−
ψ ψ
(2)
j(x, t) =
2im
∂x
∂x
die Wahrscheinlichkeitsstromdichte.
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsstromdichte für ein freies Teilchen und interpretieren Sie diese.
(c) Zeigen Sie mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung, dass für die Wahrscheinlichkeit Wab (t) ein Teilchen zur Zeit t im Bereich a < x < b
zu finden
dWab
= J(a, t) − J(b, t)
dt
(3)
gilt und interpretieren Sie das Ergebnis.
(e) Folgern Sie aus Gleichung (3), dass für eine Lösung der Schrödinger∞
R
Gleichung die Normierungsbedingung
dx|ψ(x, t)|2 = 1 für alle
−∞
Zeiten gilt, falls sie zum Zeitpunkt t = 0 gilt. Sie können voraussetzen, dass ψ(x, t) für alle Zeiten quadratintegrabel ist und dass diese
Tatsache impliziert, dass ψ(x, t) → 0 für |x| → ∞.
QMI8.2:
(a) Beweisen Sie mit Hilfe der Schrödinger-Gleichung die folgende Beziehung (Ehrenfest-Theorem) für die Zeitabhängigkeit des Mittelwertes hOX i = hψ(t)|OX |ψ(t)i eines beliebigen Operators OX im
Zustand ψ(t):
i~
d
∂
hOX i = h[OX , OH ]i + i~h OX i.
dt
∂t
1
(4)
(b) Was muss folglich für eine Konstante der Bewegung gelten?
(c) Betrachten Sie nun das eindimensionale Problem eines Teilchens in
einem Potential V (x) = −f x mit einer Konstanten f > 0. Dies beschreibt beispielsweise ein geladenes Teilchen in einem homogenen,
elektrischen Feld. Stellen Sie das Ehrenfest-Theorem für die Erwartungswerte von Ort und Impuls des Teilchens auf. Lösen Sie diese
Gleichungen und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der klassischen
Bewegung.
QMI8.3:
Sei Z ein Hilbertraum mit dim(Z) < ∞ , ρ : so(3) → End(Z) eine
Darstellung von so(3) in Z und Ja der Generator für Drehungen um die aAchse. Wie in der Vorlesung besprochen, gilt [Ja , Jb ] = iabc Jc mit a, b, c ∈
{1, 2, 3}. Zudem sei J± := J1 ± iJ2 und J 2 := J1 ◦ J1 + J2 ◦ J2 + J3 ◦ J3 .
(a) Beweisen sie folgende Kommutatorrelationen:
[J3 , J± ] = ±J± , [J+ , J− ] = 2J3 und [J 2 , Ja ] = 0.
(b) Zeigen sie, dass J 2 = J+ ◦ J− + (id + J3 ) ◦ J3 .
(c) Berechnen sie die Matrixdarstellung von J1 ,J2 und J3 in der Basis
{|m i}m∈M(J3 ) für j = 1.
QMI8.4:
Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m in einer Dimension im unendlich
tiefen Potentialtopf
(
0 für 0 < x < a
V (x) =
(5)
∞ sonst
Hinweis: Es ist hilfreich, für diese Aufgabe die Sekundärliteratur hinzuzuziehen (z.B. Kapitel 9.3, M. Le Bellac ”Quantum Physics” oder D.
J. Griffiths, ”Introduction to Quantum Mechanics”).
(a) Stellen Sie die stationäre Schrödinger-Gleichung im Ortsraum auf.
Welche Randbedingungen muss die Wellenfunktion erfüllen?
(b) Bestimmen Sie die Energieeigenwerte und zugehörigen normierten
Wellenfunktionen.
(c) Zum Zeitpunkt t = 0 befinde sich das System in einer Überlagerung
aus dem Grundzustand |φ1 i und dem ersten angeregten Zustand
|φ2 i:
Ψ(x, t = 0) = N (φ1 (x) + φ2 (x))
(6)
Bestimmen Sie die Normierungskonstante N und skizzieren Sie
|Ψ(x, t = 0)|2 .
(d) Berechnen Sie die Wellenfunktion Ψ(x, t) sowie ihr Betragsquadrat
zur Zeit t. Drücken Sie dabei |Ψ(x, t)|2 unter Verwendung der Frequenz ω = π 2 ~/2ma2 aus.
2
(e) Berechnen Sie den Ortserwartungswert als Funktion der Zeit. Mit
welcher Frequenz und mit welcher Amplitude oszilliert dieser? Vergleichen Sie mit der Amplitude (maximale Auslenkung) der Trajektorie eines klassischen Teilchens im Potentialtopf und interpretieren
Sie.
Hinweis: Verwenden Sie, dass der Erwartungswert von x − a2 aus
Symmetriegründen in jedem stationären Zustand φn verschwindet,
sowie das folgende Integral:
Z π
8
x sin(x) sin(2x)dx = − .
(7)
9
0
(f) Nun werde die Energie gemessen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
findet man welchen Wert? Was ist der Erwartungswert der Energie?
Referatvorschläge:
(a) Galilei-Invarianz der Quantenmechanik
(b) Projektive Darstellungen
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