Ubungsaufgaben zur Vorlesung ” Quantenmechanik I

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Quantenmechanik I“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
Institut für Physik, KOMET 337, Johannes Gutenberg-Universität
Abgabetermin: 16. 12. 2005
Aufgabe 12. Das Zweiteilchensystem (5 Punkte)
Betrachten Sie ein System zweier freier Teilchen der Massen m1 und m2 , deren Wechselwirkung
durch das Potential V (x1 − x2 ) beschrieben wird. Der Hamilton-Operator ist durch
H=
p̂21
p̂2
+ 2 + V (x1 − x2 ) ;
2m1 2m2
p̂l =
~ ∂
i ∂xl
(l = 1, 2)
gegeben. Wir definieren nun den Relativvektor r = x1 − x2 , den Schwerpunktsvektor R =
m1 m2
m1 x1 +m2 x2
m1 +m2 , die Gesamtmasse M = m1 + m2 und die reduzierte Masse µ = m1 +m2 . Die Raumdimension sei d.
(a)
Zeigen Sie, dass der Hamilton-Operator, ausgedrückt in den Koordinaten (r, R), die Form
Ĥ = Ĥr + ĤR ;
Ĥr ≡ −
~2
∆r + V (r) ,
2µ
ĤR ≡ −
~2
∆R
2M
hat, wobei ∆r und ∆R die Laplace-Operatoren zu r und R darstellen.
(b) Gehen Sie aus vom Separationsansatz ψ(r, R, t) = χ(r)X(R)e−iEt/~ für die Lösung der
Zweiteilchen-Schrödinger-Gleichung und zeigen Sie:
ĤR X = ER X ,
Ĥr χ = Er χ ,
ER + Er = E.
Aufgabe 13. Kommutierende Operatoren (3 Bonuspunkte)
Betrachten Sie die hermiteschen Operatoren“ A = ( 10 a0 ) und B = 100b mit a, b ∈ R\{1}, die im
”
1
zweidimensionalen Hilbert-Raum der Wellenfunktionen“ ψ = ψ
∈ C2 mit dem komplexen
ψ2
”
Skalarprodukt
(ψ, ψ ′ ) ≡ ψ1∗ ψ1′ + ψ2∗ ψ2′ wirken. Wir definieren wie üblich δA ≡ A − hAiψ und
p
h(δA)2 iψ (und analog für δB und ∆B) und normieren die Wellenfunktion gemäß
∆A ≡
kψk = (ψ, ψ)1/2 = 1. Zeigen Sie:
(i) [A, B] = 0 ,
(ii) (∆A)2 (∆B)2 = (1 − a)2 (1 − b)2 |ψ1 |4 |ψ2 |4
und schließen Sie hieraus, dass A und B nur für sehr spezielle Wellenfunktionen (welche?) gleichzeitig scharf messbar sind. Für welche ψ wird die Schwarz’sche Ungleichung zur Gleichung (d.h.
gilt δBψ ∝ δAψ)? Für welche ψ gilt Re(ψ, δAδBψ) = 0?
Aufgabe 14. Die Unschärferelation (5 Punkte)
Betrachten Sie ein nicht-relativistisches quantenmechanisches Teilchen der Masse m unter der
Einwirkung konservativer Kräfte. Wir nehmen an, dass das Teilchen in einem symmetrischen Potenzialtopf eingeschlossen ist, V (x) = V (−x), wobei V für große Abstände divergiert: V (x)/|x|ǫ →
∞ für ein ǫ > 0 und |x| → ∞. Die Raumdimension sei d.
(a)
Formulieren Sie eine Unschärferelation für die Komponenten p̂i des Impulsoperators und
Fi = −∂V /∂xi der Kraft (i = 1, . . . , d).
(b) Bestimmen Sie eine Wellenfunktion ψ0 mit minimaler Unschärfe“, für die für alle i =
”
1, . . . , d das Gleichheitszeichen in der Unschärferelation gilt. Welche Einschränkung ergibt
sich aus der Forderung der Normierbarkeit von ψ0 für den Erwartungswert h∇V iψ0 ? Geben
Sie die allgemeine Form der normierten Wellenfunktion ψ0 an.
Aufgabe 15. Das Teilchen im Kasten mit festen Randbedingungen (10 Punkte)
Wir betrachen ein Schrödinger-Teilchen der Masse m in einem (der Einfachheit halber eindimensionalen) Potenzialtopf V mit unendlich hohen Wänden. Der Hamilton-Operator lautet
dementsprechend
(
0
(x ∈ D)
p̂2
Ĥ =
+ V (x) , V (x) =
, D = [0, L]
2m
∞ (x ∈
/ D)
und die Randbedingung lautet ψ(0, t) = ψ(L, t) = 0.
(a)
Zeigen Sie mit Hilfe eines Separationsansatzes, dass die Schrödinger-Gleichung Lösungen
der Form
r
πn
2
sin(kn x)e−iEn t/~ , kn =
(n ∈ N+ )
φn (x, t) =
L
L
erlaubt, bestimmen Sie die Eigenenergien En und zeigen Sie, dass der Satz {φn (t)} orthoRL
normal bezüglich des Skalarprodukts (ψ1 , ψ2 ) = 0 dx ψ1∗ (x)ψ2 (x) ist.
(b) Zeigen Sie – eventuell mit Hilfe von Argumenten aus der harmonischen Analyse – dass
die allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung zur Anfangsbedingung ψ(x, 0) = ψ0 (x)
gegeben ist durch:
ψ(x, t) =
∞
X
n=1
(c)
an φn (x, t) ,
an =
Z
0
L
dx φ∗n (x, 0) ψ0 (x).
Berechnen Sie im Zustand
φn(x, t): denmittleren Aufenthaltsort hxi, den mittleren Impuls
hpi, die Erwartungswerte x2 und p2 und das Produkt der Unschärfen ∆x∆p.