Ubung 3 : Komplexe Wellenfunktion und Wahr

Universität Potsdam
Vorlesung Theoretische Physik II (LA)
M. Rosenblum
Institut für Physik
SS 2017
Übung 3 : Komplexe Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeit
(Besprechung am 23.05.2017)
Aufgabe 3.1
Betrachten Sie die Wellenfunktion Ψ(x, t) = Ae−iωt−k|x| , wobei die Konstanten A,
k und ω reell und positiv sind.
(a) Normieren Sie Ψ.
(b) Finden Sie die Erwartungswerte von x und x2 .
(c) Finden Sie die Standardabweichung σ von x. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen nicht im Intervall hxi ± σ gefunden wird?
(d) Die Wellenfunktion sei Lösung der stationären Schrödinger Gleichung. Welche Energie hat das Teilchen?
Aufgabe 3.2
Sei Ψ eine Lösung der Schrödinger Gleichung im zeitabhängigen Potential V (x, t).
Zeigen Sie, dass Ψ0 = Ψe−iV0 t/~ die Schrödinger Gleichung im Potential V + V0
löst, wobei V0 = const. Welchen Einfluss hat diese Transformation auf den Erwartungswert einer dynamischen Variablen?
Aufgabe 3.3
Sei Pab die Wahrscheinlichkeit das Teilchen zur Zeit t im Intervall a < x < b zu
finden.
(a) Zeigen Sie, dass
∂Pab
= J(a, t) − J(b, t),
∂t
mit
i~
J(x, t) =
2m
∂Ψ∗
∂Ψ
Ψ
− Ψ∗
∂x
∂x
.
Welche Einheit hat der Wahrscheinlichkeitsstrom J?
(b) Finden Sie J für die Wellenfunktion aus der Aufgabe 1.
Zum Nachdenken:
• Welche Kräfte wirken auf geladene Teilchen im elektromagnetischen Feld?
• Welche Frequenzen und Gesamtenergien können stehende elektromagnetische Wellen in einer quaderförmigen Vakuumkammer mit den Abmessungen
lx , ly und lz haben?
Veranstaltungshinweise der Fachschaft Physik:
Vernetzungstreffen Mathematik — 19.5.
Deutsche Fuballmeisterschaft der Mathematiker in Essen — 9.6. - 11.6.
Institutsfest Mathematik — 28.06. — 18 Uhr
Institutsfest Physik — 19.07.
nähere infos unter www.fsr.physik.uni-potsdam.de