PC II für Lehramt

PC II für Lehramt - Formelsammlung
0 Allgemeine wichtige Formeln
1
p2
Ekin = mv 2 =
2
2m
E = hν =
(1)
hc
λ
(2)
0.1 Zentrifugalkraft
mv 2
F~z =
r
(3)
q1 q2
F~c =
; q = Elementarladung e
4π0 r2
(4)
0.2 Coulombkraft
1 Einführung in die Quantenmechanik
1.1 Heisenberg’sche Unschärfe
1
∆x∆p ≥ h̄
2
(5)
λmax T = 2, 9 · 10−3 [mK] = const.
(6)
U = aT 4
(7)
1
mv 2 = eUG = hν − ΦA
2
(8)
1.2 Schwarzer Körper
1.3 Photoelektrischer Effekt
1.4 Welle Teilchen Dualismus
p=
h
λ
(9)
1.5 Bohr’sches Atommodell
1
n2
(10)
EA = hcR∞
(11)
En = −EA
1
1
−
m 2 n2
1
1
1
ν̃ = = R∞
−
λ
m 2 n2
∆E = hν = En − Em = EA
1
(12)
(13)
2 Quantenmechanik
2.1 Operatoren
x̂ = x
pˆx =
h̄ ∂
i ∂x
Ĥ = T̂ + V̂ =
Ĥ = −
(14)
(15)
pˆ2x
+ V̂
2m
h̄2 ∂ 2
+ V̂
2m ∂x2
(16)
(17)
2.2 1-dimensionale Schrödinger Gleichung
−
h̄2 ∂ 2
Ψ(x) + V (x)Ψ(x) = EΨ(x)
2m ∂x2
(18)
2.3 Teilchen im 1-dimensionalen Kasten
2.3.1
Wellenfunktion
r
Ψn (x) =
2.3.2
2
sin
Lx
nπ
x
Lx
, n = 1, 2, 3, ...
(19)
Energiewerte
E=
n2 h2
, n = 1, 2, 3, ...
8mL2
(20)
2.4 Teilchen im 3-dimensionalen Kasten
2.5 3-dimensionale Schrödinger Gleichung
−
h̄2
∆Ψ(x, y, z) + V̂ Ψ(x, y, z) = EΨ(x, y, z)
2m
∆=
2.5.1
2.5.2
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Wellenfunktion im Würfel: Lx = Ly = Lz = L
r
n π n π n π 8
y
x
z
Ψn (x) =
sin
x
sin
y
sin
z
L3
L
L
L
(21)
(22)
(23)
Energiewerte im Würfel: Lx = Ly = Lz = L
h2
, nx , ny , nz = 1, 2, 3, ...
8mL2
Beachte die Möglichkeit der Entartung
E = Ex + Ey + Ez = (n2x + n2y + n2z )
(24)
2.6 Tunneleffekt
Übergangswahrscheinlichkeit bzw. Transferrate
√
2d 2m(V −E)
16E
E
−
h̄
T =
1−
e
V
V
2
(25)
3 Harmonischer Oszillator
3.1 Klassisch
F = −kx
s
k
m1 m2
ω = 2πν =
; µ=
µ
m1 + m2
(26)
(27)
1
Epot = kx2
2
(28)
1
1
Eυ = ( + υ)h̄ω = ( + υ)hν , υ = 0, 1, 2, ....., ∆υ = ±1
2
2
(29)
3.2 Quantenmechanisch
3.2.1
3.2.2
Energiewerte
Wellenfunktion
Ψυ (x) = Nυ Hυ (x)e−
αx2
2
,α =
mω
h̄
(30)
4 Starrer Rotator
4.1 Energiewerte
E = hcB ∗ J(J + 1) J = 0, 1, 2, ... ; ∆J = ±1; B = h̄2 /(2Ihc) = h/(8π 2 cI)
(31)
B = h̄2 /(2Ihc) = h/(8π 2 cI)
(32)
I = µr2
(33)
5 Wasserstoffatom
5.1 Energiewerte
µ
E=−
2
Z ∗ e2
4π0 h̄
2
∗
3
1
, n = 1, 2, 3, ....
n2
(34)
Konstanten, Einheiten und Umrechnungsfaktoren
Klassischer Radius des Protons
rp = 0, 84 · 10−15 m
Elektron-Masse
me = 9, 109 · 10−31 kg
Proton-Masse
mp = 1, 672 · 10−27 kg
Neutron-Masse
mn = 1, 674 · 10−27 kg
Atomare Masseneinheit
mu = 1, 661 · 10−27 kg
Elementarladung
e = 1, 602 · 10−19 C
Lichtgeschwindigkeit
c = 2, 998 · 108 ms−1
Planck’sches Wirkungsquantum
h = 6, 626 · 10−34 Js
h/2π = 1, 054 · 10−34 Js
Avogadro Konstante
NA = 6, 022 · 1023 mol−1
Gaskonstante
R = 8, 314JK −1 mol− 1
Boltzmann Konstante
k = 1, 380 · 10−23 J · K −1
Bohr’scher Radius
a0 = 5, 292 · 10−11 m
Rydberg-Konstante
R∞ = 1, 097 · 107 m−1
Dielektrizitätskonstante des Vakuums
0 = 8, 854 ∗ 10−12 J −1 ∗ C 2 ∗ m−1
N = kg ∗ m ∗ s−2
J = kg ∗ m2 ∗ s−2
1eV = 1, 602 ∗ 10−19 J = 8065.5cm−1
1cm−1 = 1, 986 ∗ 10−23 J
1Hz = 1s−1
4