Ubungen zur Quantenmechanik

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Übungen zur Quantenmechanik
Theoretische Physik III
Blatt 5
Aufgabe 13
SS 2017
A. Alvermann & H. Fehske
Abgabe: Dienstag, 09.05.17 vor der Vorlesung
δ-Potential
Betrachten Sie ein quantenmechanisches Teilchen der Masse m im δ-Potential V (x) = V0 δ(x).
Zeigen Sie, dass für negatives V0 ein gebundener Zustand existiert, und bestimmen Sie die
Bindungsenergie.
Hinweis: Überlegen Sie sich, dass die Ableitung der Wellenfunktion einen Sprung bei x = 0
aufweist. Integrieren Sie dazu die Schrödinger-Gleichung von − bis +.
Machen Sie dann den Ansatz ψ(x) ∝ e−Konstante |x| für die Wellenfunktion.
Aufgabe 14
Teilchen im quadratischen Potential
Ein quantenmechanisches Teilchen der Masse m bewegt sich im Potential V (x) = (k/2)x2 .
Wir verraten Ihnen, dass die Wellenfunktion des Grundzustands wie
2
ψ(x) ∝ e−ax
aussieht.
(a) Bestimmen Sie den Wert von a, und die Energie E der zugehörigen Wellenfunktion.
(b) Bestimmen Sie, in Abhängigkeit von m und k, die Varianzen ∆x und ∆p.
(c) Wie viele gebundene Zustände erwarten Sie in diesem Potential?
Zusatz
Auch die Wellenfunktion ψ1 ∝ xψ(x) ergibt einen gebundenen Zustand. Zu welcher
aufgabe Energie E1 ? Gibt es gebundene Zustände mit Energien zwischen E und E1 ?
Aufgabe 15
Ringleiter
y
Ein geladenes Teilchen (Ladung q) bewegt sich in einem
infinitesimal dünnen Ringleiter mit dem Radius R. Seine Wellenfunktion ψ(θ) hängt nur vom Winkel θ ab.
~ senkrecht zur Ebene des
Ein konstantes Magnetfeld B
Ringleiters erzeugt einen magnetischen Fluß Φ durch den
Ringleiter.
q
θ
x
R
(a) Wie hängt die Grundzustandsenergie des Teilchens vom Magnetfeld ab?
Stellen Sie eine Formel auf, und diskutieren Sie das Resultat.
(b) Das Elektron sei bei eingeschaltenem Magnetfeld (d.h. bei Φ 6= 0) in seinem Grundzustand. Jetzt wird das Magnetfeld ausgeschaltet. Wie groß ist der Strom im Ringleiter?
Hinweis: (i) Den Gradienten ∇ in Zylinderkoordinaten nachschlagen, und dann den Impulsoperator zu p = irgendetwas mit ∂θ notieren. (ii) Das Vektorpotential in Zylinderkoordinaten
~ = irgendetwas mit ~eθ . (iii) Die resultierende eindimensionale Schrödingergleiaufstellen: A
chung lösen, und dabei nicht vergessen, dass ψ(θ + 2π) = ψ(θ).
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