Theoretische Physik II: Quantenmechanik

Theoretische Physik II:
Quantenmechanik
Hans-Werner Hammer
Marcel Schmidt ([email protected])
Wintersemester 2016/17
2. Übung
3./4. November 2016
Aufgabe 1 Quantenmechanische Wellen
Die Schrödingergleichung in Ortsdarstellung für ein Teilchen der Masse m in einem Potential V (~x , t)
lautet
ħ
h2
∂
∆ψ(~x , t) + V (~x , t)ψ(~x , t) .
+iħ
h ψ(~x , t) = −
∂t
2m
In einer Dimension lautet die freie Schrödingergleichung demnach
+iħ
h
∂
∂t
ψ(x, t) = −
ħ
h2 ∂ 2
2m ∂ x 2
ψ(x, t) .
a) Wie wird die Wellenfunktion physikalisch interpretiert?
b) Überführen Sie die freie Schrödingergleichung in einer Dimension mittels des Separationsansatzes
ψ(x, t) = φ(x)A(t) in zwei Eigenwertprobleme in x und t . Geben Sie die allgemeine Lösung an.
c) Lösungen zu welchen Eigenwerten sind mit der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion kompatibel?
d) Die allgemeine (physikalische) Lösung hat die Form
Z∞
1
e (k)e i(kx−ω(k)t) .
ψ(x, t) =
dk Φ
2π −∞
Wie lautet die Dispersionsrelation ω(k)? Wieso umfasst der Integrand nur einen Term? Machen sie
sich weiter klar, dass die Wellenanteile mit k > 0 (k < 0) zu nach rechts (links) laufenden Wellen
korrespondieren. Was muss also gelten, falls ψ eine rein nach rechts laufende Welle ist?
e) Zeigen Sie nun, dass ψ(x, t) für festes k0 und ω0 ≡ ω(k0 ) geschrieben werden kann in der Form
ψ(x, t) = e i(k0 x−ω0 t) Ψ(x − ω0 (k0 )t, t).
f) Berechnen Sie Ψ explizit für die um k0 konzentrierte Spektralfunktion
e (k) =
Φ
4π
a2
1/4
e
−
(k−k0 )2
2a2
,
a >0.
1
HINWEIS: Verwenden Sie die Identität
Z
∞
dx e
−αx 2 +β x+γ
=
−∞
Ç
π
α
β2
e 4α +γ ,
mit α, β, γ ∈ C, Re α > 0.
g) Berechnen Sie den Ortserwartungswert
⟨x⟩(t) =
Z
∞
d x x|ψ(x, t)|2
−∞
und auch die Breite σ(t) der Verteilung, definiert durch
σ2 = ⟨(x − ⟨x⟩)2 ⟩ = ⟨x 2 ⟩ − ⟨x⟩2
(Vergewissern sie sich der Gültigkeit dieser Formel!). Interpretieren Sie die Ergebnisse. Warum
wird ω0 (k0 ) als Gruppengeschwindigkeit bezeichnet?
HINWEIS: Verwenden Sie, dass ψ normiert ist.
Aufgabe 2 Unschärferelation
Ein Teilchen habe die Wellenfunktion ψ(x, t). Die Orts- und Impulsunschärfen ∆x und ∆p sind definiert
über folgende Erwartungswerte:
(∆x)2 ≡ (x − ⟨x⟩)2
(∆p)2 ≡ (p − ⟨p⟩)2
a) Geben Sie die Erwartungswerte (∆x)2 und (∆p)2 explizit als Integrale an.
b) Für α ∈ R definieren wir nun die (nicht normierte) Wellenfunktion
i
ψα (x, t) = α(x̂ − x )φ(x, t) + (p̂ − p )φ(x, t).
ħ
h
Zeigen Sie, dass
f (α) ≡
Z
∞
d x |ψα (x, t)|2 = α2 (∆x)2 − α +
−∞
1
ħ
h2
(∆p)2
und finden Sie das αmin , das f (α) minimiert. Folgern Sie daraus die Heisenberg’sche Unschärferelation
∆x∆p ≥
ħ
h
2
.
2