r ,t - TU Freiberg

3. Wellenfunktion, Schrödingergleichung und Operatoren
Der Zustand eines QM Systemes wird durch eine Wellenfunktion beschrieben.
ψ(r,t)=Wellenfunktion=Zustandsfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ein Elektron am Ort r zur Zeit t zu finden ist
durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion gegen.
r , t =
∣ r , t ∣2
∫∣ r , t ∣ d r
2
3
=
* r ,t r ,t 
*
3


r
,t

r
,
t

d
r
∫
Für eine große Anzahl von gleichartigen Teilchen entspricht w(r,t) einer
Intensitätsverteilung -> statistische Interpretation der QM.
Die Wellenfunktion kann durch Lösung der Schrödingergleichung erhalten werden.
2
∂ r ,t 
−ℏ
iℏ
= H =
  r , tU r r ,t 
∂t
2m
H = Hamiltonoperator
(Operator: Funktion -> Funktion)
ergibt sich aus der Hamiltonfunktion der klassischen Mechanik.
24
Beispiel freies Teilchen in einem großen Volumen V
frei = es wirken keine Kräfte -> potentielle Energie U(r)=0
Schrödingergleichung
∂ r , t 
−ℏ 2
iℏ
=H =
  r , t 
∂t
2m
Lösungen sind ebene Wellen:
r ,t =0 e
i 
k⋅r −t 
−ℏ 2 2
i ℏ−i =
−k 
2m
mit Nebenbedingung
ℏ2 k2
ℏ =

2m

ℏ 
k 2
ℏ =
2m
Normierung der Wellenfunktion
∫ *  d3 r=∫ 0* e−i  k⋅r − t  0 e i  k⋅r − t  d 3 r =∫ *0 0 d3 r=0* 0∫ d3 r =*0 0 V =1


∣0∣=
1
V
Lösung ist also eine ebene Welle mit fester Energie E = ћω und Impuls p = ћk mit
Ausbreitungsrichtung k || p und Gruppengeschwindigkeit (Teilchengeschwindigkeit)
v g k =
d
dk
=
ℏk
=v
m
An welchem Ort finden wir das Teilchen?
|ψ(r,t)|2 = 1/V
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist für alle Raumpunkte gleich.
25
3.1 Operatoren und Messwerte
Impulsoperator: der klassische Impuls p wird durch den QM Impulsoperator pop ersetzt


ℏ ∂
ℏ
ℏ
∂ ∂
pop =
,
,
= grad= ∇
i ∂x ∂ y ∂z
i
i
2
2
2
ℏ
ℏ
∂
∂
∂
2
2
2
2
pop = pop⋅pop = ∇ ⋅ ∇ =−ℏ ∇⋅∇=−ℏ =−ℏ
 2 2
2
i
i
∂x ∂ y ∂z
  


Ortsoperator: der klassische Ort r wird durch den QM Ortsoperator rop ersetzt
r -> rop = Multiplikation mit r
Funktionen U(r) -> Uop(r) Multiplikation mit Funktion
Index op wird in Zukunft weggelassen !
Die Reihenfolge der Operatoren ist im allgemeinen nicht vertauschbar!


ℏ ∂ r , t 
x p x  r , t = x  p x  r , t = x
i
∂x
ℏ ∂
ℏ
∂  r , t 
p x x  r , t = p x  x  r , t =
 x  r , t =  r , t  x
i ∂x
i
∂x
−ℏ
 x p x− p x x  r , t =
r , t 
i
 


26
Eigenwerte von Operatoren entsprechen physikalischen Messwerten
Eigenwertgleichung aus der Algebra

   
a11 a12 x 1
= x 1
a 21 a22 x 2
x2
A x= x
QM: Operator Funktion = Zahl Funktion
A) Meßwerte des Impulsoperators für eine ebene Welle
ℏ
pop = grad = p 
i

r ,t =0 e i  k⋅r −t 
p =ℏ 
k nach de Broglie
B) Messwerte des Hamiltonoperators für freies Teilchen
p2op
−ℏ 2
H op =
=
2m
2m
2
pop
ℏ 2 k2
H op =
=
= E 
2m
2m
Eigenwerte des Hamiltonoperators sind die möglichen Messwerte der Energie
C) allgemein: beliebiger Operator A einer physikalischen Messgröße
Eigenwertgleichung A = a 
Eigenwert a = möglicher Messwert
27
3.2 Formale Quantisierung eines physikalischen Systems
In der klassischen Hamiltonfunktion H=p2/2m+U(r) werden klassische Größen wie
Ort und Impuls werden durch Operatoren ersetzt.
p 


ℏ ∂ ∂ ∂
ℏ
ℏ
,
,
= grad= ∇
i ∂x ∂ y ∂z
i
i
∂
E i ℏ
∂t
Durch diese Ersetzung erhalten wir eine lineare partielle DGL für die Wellenfunktion ψ(r,t).
iℏ
∂ r ,t 
=H 
∂t
Schrödingergleichung
Linerare GL: wenn ψ(r,t) eine Lösung ist, dann ist auch a ψ(r,t) Lösung
Normierung der Wellenfunktion ∫|ψ(r,t)|2d3r=∫ψ*ψ d3r=1
Anmerkung: Die Wahl der klassischen generalisierten Koordinaten für ein gegebenes
System ist im allgemeinen nicht eindeutig. Die Reihenfolge von q und p ist in der
klassischen Mechanik willkürlich. Der Hamiltonoperator ist damit nicht eindeutig.
Die Mehrdeutigkeit verschwindet, wenn die Ersetzungsregeln nur auf kartesische
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Koordinaten angewandt werden. Zusatzregel pq -> (qp+pq)/2
3.3 Stationäre (zeitunabhängige) Zustände
Wenn der Hamiltonoperator nicht explizit von der Zeit abhängt, kann man von der
zeitabhängigen Schrödingergleichung zu einer zeitunabhängigen übergehen.
2
∂ r ,t 
−ℏ
iℏ
= H =
  r , tU r r ,t 
∂t
2m
Lösungsansatz: Separation der Variablen r ,t =e
−i  t
r 
Einsetzen in die Schrödingergleichung gibt
ℏ  e−i t r =E e−i t r = H e−i t r 
Übrig bleibt der zeitunabhängige Teil der Schrödingergleichung H ψ(r) = E ψ(r) deren
Lösung ψ(r) gibt. Die Lösungen ψ(r) heißen stationäre Zustände, da
w r , t =* r ,t  r ,t =e i  t * r e−i  t r =* r r =w r 
zeitunabhängig ist. Stationäre Zustände haben eine feste Energie.
Die vollständige zeitabhängige Lösung der Schrödingergleichung ist ψ(r,t) = e-iωt ψ(r)
und damit zeitabhängig.
29
3.4 Wahrscheinlichkeitsstromdichte
*
∂
∂
*
* ∂


=


 ∂t
∂t
∂t
Schrödingergleichung und deren komplex kongugiertes
2
*
2
∂ r ,t  −ℏ
∂ r , t  −ℏ
*
iℏ
=
 r ,t 
−i ℏ
=
r ,t 
∂t
2m
∂t
2m
ℏ
∂
*   =
* −*   ]

[
∂t
i 2m
Definition der Wahrscheinlichkeitsstromdichte
(Achtung
∇ =grad
)
j r ,t = ℏ [ * r , t  ∇ r , t −r , t  ∇ * r , t  ]
i 2m
damit kann man eine Kontinuitätsgleichung formulieren
∂
w r ,t div j r , t =0
∂t
die zeitliche Änderung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem bestimmten Volumen
ist gleich dem Wahrscheinlichkeitsstrom durch die Oberfläche des Volumens.
(Teilchenerhaltung analog zur Ladungsstromdichte der ED)
30