Blatt 4 - THEP Mainz

SS 2006
Prof. Dr. N. Papadopoulos
Übungen zur Theoretischen Physik III
Blatt 4 – 22.5.2006
13. Vergleich von Gravitation und elm. Wechselwirkung (2 P)
Berechnen Sie das Analogon zum Bohr’schen Radius eines Elektrons im Gravitationsfeld eines Protons (ohne elektromagnetische Wechselwirkung). Geben Sie sowohl den numerischen
Wert als auch das Verhältnis zum Bohr’schen Radius an.
14*. Wahrscheinlichkeitsstromdichte in
Die Wellenfunktion eines Teilchens in
und ψII = Ceiqx für x ≥ 0.
(6 P)
ist gegeben durch ψI (x) = eikx + Be−ikx für x < 0
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsstromdichten jI und jII .
(b) Bestimmen Sie die Koeffizienten B und C aus der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit
und der Stetigkeit der Wellenfunktion ψ.
(c) Bestimmmen Sie den Transmissions- und Reflexions-Koeffizienten des Problems.
15*. Impulsoperator und klassische Analogie (6 P)
(a) Zeigen Sie, dass der Erwartungswert hpiψ des Impulses durch folgenden Ausdruck
gegeben ist:
Z
~ ∂
hpiψ = dx ψ ∗ (x, t)
ψ(x, t) .
i ∂x
Hinweis: Verwenden Sie dazu die Beziehung hpiψ = m(d/dt)hxiψ und die freie Schrödingergleichung. Die Wellenfunktion soll für |x| → ∞ verschwinden, so dass die Ausdrücke:
∂x (∂x ψ ∗ )xψ − ψ ∗ x(∂x ψ) und ∂x (ψ ∗ ψ)
bei der Integration keinen Beitrag liefern.
(b) Zeigen Sie für ein freies Teilchen, dass das so definierte hpiψ eine reelle Zahl ist.
16. Kommutatoren der Lie-Algebra SU(2) (6 P)
Im
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sind die drei Operatoren %, σ, τ mit Hilfe der kanonischen Basis (εi ) definiert durch:
(
(
(
ε1 7→ ε2
ε1 7→ +iε2
ε1 7→ +ε1
%:
,
σ:
,
τ:
.
ε2 7→ ε1
ε2 7→ −iε1
ε2 →
7 −ε2
(a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen der obigen Operatoren.
(b) Zeigen Sie, dass die Matrixdarstellungen sowohl unitär als auch hermitesch sind.
(c) Es sei weiter S1 = %/2, S2 = σ/2, S3 = τ /2. Berechnen Sie die Kommutatoren [Sk , Sl ]
für k, l ∈ {1, 2, 3}, und vergleichen Sie das Resultat mit dem der Erzeugenden der
Gruppe SO(3).
(d) Zeigen Sie, dass die Matrizen , %, σ, τ eine Basis im Raum der hermiteschen Matrizen
über 2 aufspannen.
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