SS 08 Übungsblatt VII 1. Pauli Spin-Operatoren
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Grundlagen IV - SS 08 Übungsblatt VII
1.
Pauli Spin-Operatoren (8 Punkte)
Ein Spin 1/2-System wird in der Quantenmechanik durch einen zweidimensionalen Hilbertraum beschrieben. Messungen an diesem System können durch die Spin-Operatoren Ŝk
(k ∈ {x, y, z}) dargestellt werden, deren Eigenwerte ±~/2 die möglichen Messergebnisse
sind.
Die Pauli-Operatoren σk sind deniert durch
Ŝk =
~
σ̂k ,
2
sie haben demnach die Eigenwerte ±1. Als Basis des Spin-Hilbertraumes werden üblicherweise die Eigenzustände von σz gewählt, die hier mit |+ i und |− i bezeichnet werden, d.h.
σz |+ i = +|+ i und σz |− i = −|− i . Daraus ergibt sich die Darstellung
σˆx =
|+ ih −| + |− ih +|
σˆy = −i|+ ih −| + i|− ih +|
σˆz =
|+ ih +| − |− ih −|.
a) Berechnen Sie explizit die Kommutatoren [σ̂k , σ̂l ] in dieser Darstellung!
Durch Abbildung der Basis ist es möglich den Spin-Hilbertraum auf den C über dem Körper
C zu transformieren. Die Pauli-Operatoren erhalten dann folgende Form.
µ ¶
µ ¶
1
0
|+ i →
, |− i →
0
1
µ
¶
µ
¶
µ
¶
0 1
0 −i
1 0
σx =
, σy =
, σz =
1 0
i 0
0 −1
b) Berechnen Sie explizit die Kommutatoren [σk , σl ] in dieser Darstellung!
c) Berechnen Sie σk2 und die Anti-Kommutatoren {σk , σl } ≡ σk σl + σl σk (freie Wahl einer
der beiden Darstellungen)
d) Beweisen Sie die folgende Relation (Achtung! Einstein-Summenkonvention: über dop-
pelt vorkommende Indizes wird summiert!).
1 , klm gerade Permutation von xyz
−1 , klm ungerade Permutation von xyz
σk σl = 2δkl + iεklm σm
mit εklm =
0 , sonst
2.
Erwartungswert der Spinoperatoren in rotierter Basis (6 Punkte)
Gegeben sei einen Zustand eines Spin 1/2 Teilchens:
|αi = c+ |+i + c− |−i .
Wir wollen nun überprüfen, dass der Operator
Ã
Dz (φ) = exp
−iŜz φ
~
!
wirklich
E physikalische System rotiert. Wir berechnen hierzu wie sich der ErwartungsD das
wert Ŝx vom nicht rotierten Zustand |αi verändert, wenn wir ihn zum rotierten Zustand
α
|αiR = Dz (φ) |αi
berechnen. Gesucht ist:
R hα| Ŝx |αiR
= hα| Dz† (φ) Ŝx Dz (φ) |αi .
Sie müssen hierzu folgendes ausrechnen:
!
Ã
!
Ã
−iŜz φ
iŜz φ
Ŝx exp
exp
~
~
a) Benutzen Sie das auf dem letzten Übungsblatt hergeleitete Baker-Campbell-Hausdor
Formel, um obigen Term so umzuformen, dass seine Transformationseigenschaft klar wird.
(Hinweis: Erst in Form von Kommutatoren umschreiben. Dann Kommutator-Relationen
benutzen, um Ausdruck ohne Kommutatoren zu schreiben. Die skalaren Terme stellen
dann Tailorreihen von gewissen Funktionen dar. Drücken sie schliesslich den Ausdruck
durch diese Funktionen aus.)
b) In der obigen Herleitung gingen nur die Kommutator-Relationen ein, so dass die Herleitung auch für andere Drehimpulse Jˆxyz gültig ist. Benutzen sie jetzt die spezische Form
von
µ ¶
~
Ŝx =
(|+i h−| + |−i h+|)
2
um das gleiche Ergebnis herzuleiten. (Hinweis: exp(iSˆz ) |±i = exp(i ±~
2 ) |±i )
c) Was bedeutet das Ergebnis für den Erwartungswert von
R hα| Ŝx |αiR
?
