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Hausübungen zur Theoretischen Physik II Quantenmechanik (SS 06) 27.04.2006 Aufgabe H4: (nochmal Gaußpaket) H-2 5 Punkte Betrachten Sie nochmals das Gaußpaket in einer Raumdimension aus dem vorigen Präsenzübungszettel ψ(x) := 1 (x − x0 )2 i exp [− ] exp [ p0 (x − x0 )] 2 1/4 2 (2πa ) 4a h̄ 1. Berechnen Sie explizit die in der Vorlesung gegebene Impulsdarstellung ψ̃(p) = 2a2 πh̄2 14 exp [− a(p − p0 ) h̄ 2 i ] exp [− px0 ] h̄ 2. Sie haben in der Präsenzübung ∆x zu a ermittelt. Berechnen Sie nun auch ∆p und berechnen Sie damit ∆x∆p; vergleichen Sie mit der Heisenberg’schen Unschärferelation. Hinweis: Bei 2. Ergebnis von P5 benutzen. Aufgabe H5: (Impulsoperator) 3 Punkte Sie haben den Impulsoperator p̂x kennengelernt, der Ihnen als hermitesch vorgestellt wurde, definiert auf dem Raum der komplexen quadratintegrablen Funktionen auf R, L2 (R). Beweisen Sie sowohl in der Impuls- als auch in der Ortsdarstellung, daß p̂x hermitesch ist, daß also (φ, p̂x ψ) = (p̂x φ, ψ) für beliebige quadratintegrable φ und ψ gilt. Hinweis: in einem Fall partiell integrieren Aufgabe H6: (Kommutatoren) 7 Punkte Gegenüber den gemeinen Zahlen haben Operatoren die Freiheit, mit anderen Operatoren nicht zu kommutieren, also daß i.a. [Â, B̂] := ÂB̂ − B̂ Â 6= 0. Sie sollen sich hier einige wichtige Eigenschaften dieses Objekts selbst erarbeiten. Die Funktionen, welche Elemente des zugrundeliegenden Vektorraums sind, seien als fast überall zweimal stetig differenzierbar angenommen. Im folgenden sind ~ˆ = (L̂x , L̂y , L̂z ) = (L̂1 , L̂2 , L̂3 ). p~ˆ = (p̂x , p̂y , p̂z ) = (p̂1 , p̂2 , p̂3 ) und L 1. Zeigen Sie, daß der Kommutator [. , .] antisymmetrisch ist und zudem linear in beiden Argumenten. 2. Beweisen Sie die Jacobi-Identität [[Â, B̂], Ĉ] + [[B̂, Ĉ], Â] + [[Ĉ, Â], B̂] = 0. 3. Zeigen Sie, daß [ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂. 4. Zeigen Sie, daß [p̂i , x̂j ] = −i h̄δij . 5. Zeigen Sie, daß [p̂i , p̂j ] = 0. 6. Zeigen Sie, daß [L̂i , L̂j ] = i h̄ijk L̂k .
