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Hausübungen zur Theoretischen Physik II
Quantenmechanik (SS 06) 27.04.2006
Aufgabe H4: (nochmal Gaußpaket)
H-2
5 Punkte
Betrachten Sie nochmals das Gaußpaket in einer Raumdimension aus dem vorigen
Präsenzübungszettel
ψ(x) :=
1
(x − x0 )2
i
exp
[−
] exp [ p0 (x − x0 )]
2
1/4
2
(2πa )
4a
h̄
1. Berechnen Sie explizit die in der Vorlesung gegebene Impulsdarstellung
ψ̃(p) =
2a2
πh̄2
14
exp [−
a(p − p0 )
h̄
2
i
] exp [− px0 ]
h̄
2. Sie haben in der Präsenzübung ∆x zu a ermittelt. Berechnen Sie nun auch
∆p und berechnen Sie damit ∆x∆p; vergleichen Sie mit der Heisenberg’schen
Unschärferelation.
Hinweis: Bei 2. Ergebnis von P5 benutzen.
Aufgabe H5: (Impulsoperator)
3 Punkte
Sie haben den Impulsoperator p̂x kennengelernt, der Ihnen als hermitesch
vorgestellt wurde, definiert auf dem Raum der komplexen quadratintegrablen
Funktionen auf R, L2 (R). Beweisen Sie sowohl in der Impuls- als auch in der
Ortsdarstellung, daß p̂x hermitesch ist, daß also (φ, p̂x ψ) = (p̂x φ, ψ) für beliebige
quadratintegrable φ und ψ gilt.
Hinweis: in einem Fall partiell integrieren
Aufgabe H6: (Kommutatoren)
7 Punkte
Gegenüber den gemeinen Zahlen haben Operatoren die Freiheit, mit anderen
Operatoren nicht zu kommutieren, also daß i.a. [Â, B̂] := ÂB̂ − B̂ Â 6= 0. Sie sollen
sich hier einige wichtige Eigenschaften dieses Objekts selbst erarbeiten. Die
Funktionen, welche Elemente des zugrundeliegenden Vektorraums sind, seien als
fast überall zweimal stetig differenzierbar angenommen. Im folgenden sind
~ˆ = (L̂x , L̂y , L̂z ) = (L̂1 , L̂2 , L̂3 ).
p~ˆ = (p̂x , p̂y , p̂z ) = (p̂1 , p̂2 , p̂3 ) und L
1. Zeigen Sie, daß der Kommutator [. , .] antisymmetrisch ist und zudem linear
in beiden Argumenten.
2. Beweisen Sie die Jacobi-Identität [[Â, B̂], Ĉ] + [[B̂, Ĉ], Â] + [[Ĉ, Â], B̂] = 0.
3. Zeigen Sie, daß [ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂.
4. Zeigen Sie, daß [p̂i , x̂j ] = −i h̄δij .
5. Zeigen Sie, daß [p̂i , p̂j ] = 0.
6. Zeigen Sie, daß [L̂i , L̂j ] = i h̄ijk L̂k .
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