Grundkonzepte der Optik, SS 2014 Übungsserie 7

Institut Für Angewandte Physik
Friedrich-Schiller Universität Jena
Grundkonzepte der Optik, SS 2014
Übungsserie 7
1.) Fresnel-Näherung I
6P
Die Fresnel-Näherung spielt eine wichtige Rolle in der Beugungstheorie. Ihre physikalische Bedeutung lässt
sich z.B. auf folgende Weise verstehen:
Wir beginnen mit dem Ausdruck für eine Kugelwelle im Ortsraum,
U (r) =
i
h
p
A
A
exp −ik z 2 + ρ2 .
exp(−ikr) = p
r
z 2 + ρ2
1. Leiten Sie die Fresnel-Näherung UF (r) dieser Kugelwelle ab, indem Sie U (r) in eine Taylorreihe um
ρ z entwickeln.
2. Interpretieren Sie das Ergebnis. Welche geometrische Form hat die Wellenfront in nullter und erster
Näherung? Für welche Bereiche sind diese gerechtfertigt?
3. In der Praxis bedient man sich lieber des Winkels θ mit welchem ein Strahl in Bezug auf die optische
Achse propagiert, um die Gültigkeit der Fresnel-Näherung zu prüfen (dabei gilt nahe der optischen
Achse tan θ ≈ θ). Nutzen Sie Ihre Näherungsformel, um zu zeigen, dass dabei die notwendige Bedingung
gegeben ist durch
ρ2 2
θ 4,
λz
Bemerkung: In obiger Relation ist
ρ2
NF =
λz
die sg. Fresnel-Zahl, die später in der Vorlesung von Bedeutung sein wird.
2.) Fresnel-Näherung II
5P
Berechnen Sie, ausgehend von der Fresnel-Näherung im Frequenzraum, die Responsfunktion hF (x, y, z > z0 )
der Transferfunktion
α2 + β 2
HF (α, β, z) = exp(ikz) exp −i
z .
2k
3) Talbot-Effekt
3P
In paraxialer Näherung reproduziert sich eine beliebige eindimensionale periodische Anregung
u0 (x + d) = u0 (x)
bis auf einen konstanten Phasenfaktor, wenn die Ausbreitungslänge einem ganzzahligen Vielfachen der Länge
LT entspricht. Diesen Effekt nennt man Talbot-Effekt und die Länge LT in diesem Kontext die Talbot-Länge.
Es handelt sich dabei um einen Nahfeldeffekt, der als Konsequenz aus der Fresnel-Beugung folgt. Bestimmen
Sie TL als Funktion von Wellenlänge und Gitterperiode d.
Hinweis: Entwickeln Sie u0 (x) in eine Fourierreihe und nutzen Sie Fresnelausbreitung.
Abgabetermin: Donnerstag, 22. 05. 2014, vor der Vorlesung. Bitte mit Hinweis auf die Übungsgruppe.
1