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Wintersemester 2004/2005
30. November 2004
Übungen zur Theoretischen Physik IV:
Elektrodynamik und Klassische Feldtheorie
5. Folge
13. Green-Funktion und Yukawa-Potential:
Ziel dieser Aufgabe ist es, eine Green-Funktion G(µ) (x, x0 ) zu nden, die der Gleichung
∆x − µ2 G(µ) (x, x0 ) = δ(x − x0 )
(1)
genügt und die im Grenzfall µ → 0 in eine schon bekannte Green-Funktion übergeht
G(0) (x, x0 ) = −
1
1
.
4π |x − x0 |
(2)
13.1 Dazu löst man zunächst (∆ − µ2 )Φ(x) = δ(x) mit dem Ansatz
Φ(x) =
1
(2π)3/2
ZZZ
e
d3 k eik·x Φ(k)
,
bestimmt die Fourier-Transformierte Φ̃ und kehrt die Transformation dann wieder um.
Bei der Rechnung von Φ̃ nach Φ(x) verwendet man sphärische Polarkoordinaten
(k, θk , φk ) und integriert zuerst über d Ωk . Das verbleibende Integral über k kann man mit
Hilfe des Cauchy'schen Integralsatzes berechnen.
13.2 Wenden Sie den Operator (∆ − µ2 ) auf die Funktion F (x) = (1/r) exp{−µr} an und
vergleichen Sie mit dem Ergebnis von 13.1.
13.3 Geben Sie jetzt eine Lösung der folgenden, verallgemeinerten Poisson-Gleichung an
Hinweis:
∆ − µ2 Φ(x) = −4π%(x) .
(3)
Welche Form hat die allgemeine Lösung dieser Dierentialgleichung?
In der Quantenmechanik lernt man,
dass die Amplitude
für
Streuung
an
einem
Potential
U (x) in Born'scher Näherung proRRR 3
portional zu
d x exp{iq · x}U (x) =: A(q) ist, wo die e-Funktion aus den ebenen
Wellen exp{ik · x} des einlaufenden und exp{−ik0 · x} des auslaufenden Teilchens zusammengesetzt ist, q = k − k0 .
14.1 Verwenden Sie die Identität exp{iq · x} = −(1/(q 2 + µ2 ))(∆ − µ2 ) exp{iq · x}, um
A(q) in ein Integral über die Ladungsdichte %(x) umzuwandeln.
14.2 Die hierbei auftretende Amplitude
14. Formfaktoren von Ladungsverteilungen:
F (q) =
ZZZ
d3 x eiq ·x %(x)
(4)
nennt man den Formfaktor der Ladungsverteilung %(x). (An dieser Stelle kann man den
Grenzübergang µ → 0 durchführen und ist wieder beim Coulomb-Potential.) Es sollen
einige Eigenschaften des Formfaktors als Funktion von q bestimmt werden. Zeigen Sie:
Wenn %(x) kugelsymmetrisch ist, so hängt F nur von q 2 ab. Welchen Wert hat F (0)?
Wenn F (q 2 ) gemessen wird, wie kann man daraus die Gröÿe
2
r = 4π
Z
∞
r2 dr r2 %(r) ,
(5)
0
den mittleren quadratischen Radius, bestimmen?
Normieren Sie das Beispiel %(r) = N exp{−r2 /b2 } auf Ladung 1 und berechnen Sie r2 .
Abgabe: Dienstag, den 7. Dezember 2004 in der Vorlesung