Ferienkurs Analysis 3 für Physiker - TUM

Ferienkurs
Analysis 3 für Physiker
Autor:
Stand:
Maximilian Jokel, Benjamin Rüth
9. März 2016
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Räume - Schauplatz der Mathematik
1.1 Lebesgue-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Testfunktionen-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Beziehung zwischen Lebesgue-Räumen und dem Schwartz-Raum . . . . .
3
3
4
5
2 Fourier-Transformation
2.1 Motivation: Fourier-Transformation in der Quantenmechanik
2.2 Fourier-Transformation auf L1 (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Fourier-Transformation auf S(Rn ) und L2 (Rn ) . . . . . . . .
2.4 Satz von Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Algebraisierung der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Eigenschaften der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . .
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7
7
8
11
12
13
14
3 Faltung
3.1 Motivation: Faltung in der Kosmologie
3.2 Faltung auf L1 (Rn ) . . . . . . . . . . .
3.3 Eigenschaften der Faltung . . . . . . .
3.4 Fourier-Transformation der Faltung . .
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19
20
2
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1
RÄUME - SCHAUPLATZ DER MATHEMATIK
1 Räume - Schauplatz der Mathematik
Um Mathematik betreiben zu können, bedarf es zunächst der Definition jener Objekte
mit denen anschließend hantiert werden soll. Dabei bezeichnet man eine mit einer zusätzlichen mathematischen Struktur ausgestattete Menge von Objekten als Raum.
Das wohl bekannteste Beispiel eines Raums ist der zentrale Untersuchungsgegenstand
der linearen Algebra – der Vektorraum. So bilden beispielsweise lineare Funktionen oder
Polynome einen Vektorraum, wie sich durch explizites Nachprüfen der Definition leicht
verifizieren lässt. Der Raum der linearen Funktionen oder der Raum der Polynome wiederum stellen Beispiele für sogenannte Funktionenräume dar. Diesen Räumen gilt im
Folgenden unsere besondere Aufmerksamkeit.
1.1 Lebesgue-Räume
Wir erinnern uns zunächst an die bereits aus Schulzeiten bekannte Norm eines Vektors
~x ∈ R3 , die seinerzeit als
k~x k2 :=
q
x21
+
x22
+
x23
3
X
=
!1/2
=
x2i
3
X
!1/2
(1.1)
2
|xi |
i=1
i=1
definiert wurde. Verallgemeinert man diese Definition indem man statt ~x ∈ R3 auch
Vektoren ~x ∈ Rn zulässt, so ergibt sich
k~x k2 :=
q
x21 + x22 + · · · + x2n =
n
X
!1/2
x2i
i=1
=
n
X
!1/2
2
|xi |
(1.2)
i=1
Als weitere Verallgemeinerung lässt sich für 1 ≤ p < ∞ die sogenannte p-Norm eines
Vektors ~x ∈ Rn als
!1/p
n
k~x kp :=
X
(1.3)
|xi |p
i=1
definieren. Ausgehend von dieser Definition ist der Weg zu Funktionenräumen nicht
mehr weit. Ähnlich wie ein Vektor durch dessen Länge teilweise charakterisiert werden
kann, lassen sich Funktionen durch deren Integral teilweise charakterisieren. Ersetzt man
simultan den Vektor ~x ∈ Rn durch die Funktion f (x) : Rn → C und die Summe über die
p-ten Potenzen der Beträge der Komponenten durch das Integral über die p-te Potenz
des Betrags der Funktion, so ergibt sich die Funktionenraum-Norm
kf kp :=
Z
dx |f (x)|
p
1/p
(1.4)
Ruft man sich in Erinnerung, dass Normen zur Charakterisierung vonR Funktionen eingeführt werden so ist unmittelbar klar, dass obige Definition nur für dx |f (x)|p < ∞
3
1
RÄUME - SCHAUPLATZ DER MATHEMATIK
sinnvoll ist. Divergiert das Integral zweier Funktionen so können diese nicht miteinander verglichen werden. Dementsprechend genügt es diejenige Teilmenge der Funktionen
f (x) : Rn → C zu betrachten, deren Integral im Sinne der p-Norm konvergiert. Man
definiert
Z
dx |f (x)|p < ∞
Lp (Rn ) := f : Rn → C (1.5)
An dieser Stelle verbleibt ein Problem: Die Funktionenraum-Norm kf k ist tatsächlich
nur eine Halbnorm, da aufgrund der Definition als Integral aus kf k = 0 nicht notwendigerweise f = 0 folgt. Daraus folgt unmittelbar, dass der Raum L(Rn ) kein normierter
Raum ist. Um den Ursprung dieser Unannehmlichkeit zu verstehen, betrachtet man
exemplarisch die Funktion
(
1Q (x) =
1
0
für x ∈ Q
für x ∈
/Q
(1.6)
Berechnet man die p-Norm k1Q (x)kp , so ergibt sich – da die Menge der rationalen Zahlen
Q bezüglich der Menge der reellen Zahlen R eine Menge vom Lebesgue-Maß Null ist –
für das Integral im Sinne der p-Norm der Wert Null. Offensichtlich kann daraus aber
nicht 1Q (x) = 0 für alle x ∈ R gefolgert werden. Bildet man Äquivalenzklassen indem
man zwei Funktionen f und g genau dann miteinander identifiziert, wenn sich diese nur
auf einer Nullmenge unterscheiden, so gilt
1Q (x) ∼ 0
(1.7)
da 1Q (x) nur auf der Menge der rationalen Zahlen Q, die bezüglich R eine Nullmenge
darstellen, ungleich Null ist. Wendet man diese Maßnahme der Bildung von Äquivalenzklassen auf Lp an, so gelangt man zu den sogenannten Lebesgue-Räume oder kurz
Lp -Räume
Lp (Rn ) := Lp (Rn )/ ∼
(1.8)
welche die Basis für alle folgenden Überlegungen bilden.
1.2 Testfunktionen-Räume
Eine andere sehr wichtige Klasse von Räumen sind die sogenannten TestfunktionenRäume, die im Kontext von Distributionen von besonderer Wichtigkeit sind. Sehr häufig
wird der Raum D(Rn ) der Testfunktionen ausgehend von der Menge
∞
Ccomp
(Rn ) := {φ ∈ C ∞ (Rn ) | supp(φ) ist eine kompakte Teilmenge von Rn }
(1.9)
konstruiert. Diese Menge umfasst alle unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die
außerhalb einer kompakten Teilmenge des Rn verschwinden. Gemäß der anfänglichen
Definition muss – um einen Raum zu erhalten – diese Menge mit einer zusätzlichen ma∞ (Rn ) in
thematischen Struktur ausgestattet werden. Definiert man auf der Menge Ccomp
4
1
RÄUME - SCHAUPLATZ DER MATHEMATIK
geeigneter Art und Weise eine Topologie, so kann daraus ein Konvergenzbegriff abge∞ (Rn ) eine zusätzliche Struktur aufprägt und so
leitet werden, welcher der Menge Ccomp
schließlich auf den Testfunktionen-Raum D(Rn ) führt.
Beispiel. Ein einfaches Beispiel für eine Testfunktion aus dem Raum D(R) ist die
durch

2 a
exp
für |x| < a
x2 −a2
φa (x) =
(1.10)
0
für |x| ≥ a
definierte Funktion mit dem kompakten Träger [−a, a] ⊂ R.
Wie wir später im Abschnitt über Distributionen sehen werden hat der Raum D(Rn ) die
etwas unangenehme Eigenschaft, dass er Elemente umfasst, die durch Fourier-Transformation
auf Elemente außerhalb von D(Rn ) abgebildet werden. Um diesen Makel zu beseitigen
erweitert man den Raum D(Rn ) dergestalt, dass die Fourier-Transformation auf dem
erweiterten Raum zu einem Automorphismus wird.
Definition 1. Der Schwartz-Raum S(Rn ) ist definiert als
S(Rn ) = φ ∈ C ∞ (Rn ) | ∀α, β ∈ Nn0 : sup |xα ∂ β φ(x)| < ∞
x∈Rn
(1.11)
Diese auf den ersten Blick sehr kompliziert anmutende Definition hat bei genauerer Betrachtung eine sehr anschauliche Interpretation: Der Schwartz-Raum umfasst diejenigen
unendlich oft differenzierbaren Funktionen φ ∈ C ∞ (Rn ), die für kxk → ∞ schneller als
jede beliebige inverse Potenzfunktion auf Null abfallen. Entsprechend seiner Definition umfasst der Schwartz-Raum S(Rn ) auf natürliche Weise den Testfunktionen-Raum
D(Rn ), welcher – analog zu den rationalen Zahlen Q, die dicht in den reellen Zahlen R
liegen – eine dichte Teilmenge des Schwartz-Raums darstellt.
Beispiel. Das Paradebeispiel einer Funktion aus dem Raum S(R) \ D(R) ist die
durch
φ(x) = exp −x2
(1.12)
definierte Gauß’sche Glockenkurve.
1.3 Beziehung zwischen Lebesgue-Räumen und dem Schwartz-Raum
Um die Beziehung der für unsere Bedürfnisse relevanten Lebesgue-Räume L1 (Rn ) und
L2 (Rn ) untereinander und deren Relation zum Schwartz-Raum S(Rn ) zu ergründen, betrachten wir die oben erwähnte Gauß’sche Glockenkurve. Diese S(R)-Funktion ist ohne
Zweifel nicht nur eine L1 (R)-Funktion sondern auch eine L2 (R)-Funktion. Kann dies auf
5
1
RÄUME - SCHAUPLATZ DER MATHEMATIK
beliebige S(R)-Funktionen verallgemeinert werden?
Um dieser Frage auf den Grund zu gehen, betrachten wir die durch
f (x) =

 √1
für x ∈ (0, 1)
0
für x ∈ R \ (0, 1)
x
(1.13)
definierte Funktion. Berechnet man das Integral des Betrags der Funktion so ergibt sich
erwartungsgemäß ein endlicher Wert. Dementsprechend können wir schlussfolgern, dass
die obige Funktion f eine L1 (R)-Funktion sein muss. Um zu überprüfen, ob f auch eine
L2 (R)-Funktion ist bildet man zunächst das Betragsquadrat und berechnet anschließend das Integral. Die Tatsache, dass dieses Integral divergiert bedeutet, dass f keine
L2 (R)-Funktion sein kann. Zusammen mit dem Beispiel der Gauß’schen Glockenkurve
impliziert dieses, dass es zwar L1 (R)-Funktionen gibt die zugleich auch L2 (R)-Funktionen
sind, dieses Resultat aber nicht auf beliebige L1 (R)-Funktionen verallgemeinert werden
kann.
Um zu überprüfen, ob im Gegenzug vielleicht jede L2 (R)-Funktion auch eine L1 (R)Funktion ist, untersuchen wir die sinc-Funktion
sinc(x) =
sin(x)
x
(1.14)
Nimmt man den Betrag der Funktion und integriert diesen, so stellt man fest, dass das
Integral divergiert. Berechnet man dagegen das Integral des Betragsquadrats der sincFunktion, so ergibt sich der endliche Wert π was bedeutet, dass die sinc-Funktion zwar
eine L2 (R)-Funktion aber keine L1 (R)-Funktion ist.
Zusammenfassend können wir also schlussfolgern, dass weder die L1 (R)-Funktionen eine
echte Teilmenge der L2 (R)-Funktionen sein können noch die L2 (R)-Funktionen eine echte
Teilmenge der L1 (R)-Funktionen sein können. Vielmehr haben wir gezeigt, dass es eine
Schnittmenge zwischen dem Raum der L1 (R)-Funktionen und den L2 (R)-Funktionen
gibt. Weiterhin kann gezeigt werden, dass der Schwartz-Raum S(Rn ) zum einen in der
Schnittmenge L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) liegt und zum anderen eine dichte Teilmenge des L2 (Rn )
bildet, was sich später bei der Verallgemeinerung der Fourier-Transformation von L1 (Rn )
auf L2 (Rn ) als vorteilhaft erweisen wird.
6
2
FOURIER-TRANSFORMATION
2 Fourier-Transformation
In nahezu jedem technischen Studiengang wird man früher oder später mit der FourierTransformation konfrontiert. Egal ob in der Elektrotechnik, der Bildbearbeitung oder
der Quantenmechanik – die Fourier-Transformation ist omnipräsent. Doch was macht
diese Transformation eigentlich so besonders?
2.1 Motivation: Fourier-Transformation in der Quantenmechanik
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns zunächst über die Natur und den Nutzen
der Transformation einer Funktion im Klaren sein. Die Notwendigkeit einer Transformation ergibt sich zumeist aus einer mathematischen oder physikalischen Problemstellung,
die in einer gegebenen Darstellung nur unter extremem Aufwand gelöst werden. Denkt
man beispielsweise an die Berechnung von Integralen, so vereinfacht sich ein auf den ersten Blick unlösbar schweres Integral unter einer vorteilhaften Variablentransformation
oftmals beträchtlich. Löst man das Integral in den neuen Variablen und transformiert
anschließend das Ergebnis zurück in die ursprünglichen Variablen, so hat man – allein
durch die Wahl einer vorteilhaften Darstellung – das Problem erfolgreich gelöst.
Ganz ähnlich verhält es sich bei Gleichungen deren Lösung in einer gegebenen Darstellung nicht ohne Weiteres ersichtlich ist. Als Beispiel betrachten wir die zentrale Gleichung des kommenden Semesters – die Schrödinger-Gleichung eines Teilchens der Masse
m, das sich in Abwesenheit eines Potentials in einer Dimension frei bewegen kann
i~
∂
~2 ∂ 2
ψ(t, x) = −
ψ(t, x)
∂t
2m ∂x2
(2.1)
Die Lösung dieser Gleichung ist für das ungeschulte Auge alles andere als offensichtlich.
Im Gegensatz zur Berechnung von Integralen bringt im vorliegenden Fall ein Wechsel
der Variablen keinerlei Vereinfachung, da die störenden Ableitungen weiterhin bestehen bleiben. Um sich derer zu entledigen und so die partielle Differentialgleichung in
eine algebraische Gleichung oder zumindest eine gewöhnliche Differentialgleichung umzuwandeln, bedient man sich einer sogenannten Integraltransformation. Stellt man die
Funktion ψ(t, x) als sogenanntes Fourier-Integral dar
1
ψ(t, x) = √
2π
Z
exp (+ikx) ψ̂(t, k) dk
R
7
(2.2)
2
FOURIER-TRANSFORMATION
und setzt diese Darstellung in die Schrödinger-Gleichung ein, so ergibt sich für die linke
Seite der Gleichung

i~
1
∂
∂
ψ(t, x) = i~  √
∂t
∂t
2π
1
=√
2π
Z

Z
exp (+ikx) ψ̂(t, k) dk 
(2.3)
R
exp (+ikx) i~
∂
ψ̂(t, k)
∂t
dk
(2.4)
R
Für die rechte Seite erhält man
−
~2
∂2
2m ∂x2
ψ(t, x) = −
~2
∂2
2m ∂x2
1
=√
2π
Z

1
2π
√

Z
exp (+ikx) ψ̂(t, k) dk 
(2.5)
R
~2
exp (+ikx) −
(+ik)2 ψ̂(t, k)
2m
!
dk
(2.6)
R
wobei wir die Ableitung nach der Variable x einfach in das k-Integral gezogen haben und
zudem verwendet haben, dass nur der Exponentialfaktor eine x-Abhängigkeit aufweist.
Kombiniert man beide Seiten der transformierten Gleichung und betrachtet nur die
jeweiligen Integranden so erhält man die gewöhnliche Differentialgleichung
i~
~2 k 2
∂
ψ̂(t, k) =
ψ̂(t, k)
∂t
2m
(2.7)
die durch Trennung der Variablen leicht integriert werden kann und das Ergebnis
!
~k 2
ψ̂(t, k) = ψ̂(0, k) exp −i
t
2m
(2.8)
liefert. Setzt man dieses wiederum in die Integraldarstellung von ψ(t, x) ein, so lautet
die Lösung der Schrödinger-Gleichung schließlich
1
ψ(t, x) = √
2π
Z
"
~k 2
t − kx
ψ̂(0, k) exp −i
2m
#!
dk
(2.9)
R
2.2 Fourier-Transformation auf L1 (Rn )
Bei den obigen Überlegungen sind wir in (2.2) stillschweigend davon ausgegangen, dass
das Integral konvergiert. Dies ist jedoch für beliebige Funktionen ψ̂ im Allgemeinen nicht
der Fall, sondern bedarf bestimmter mathematischer Voraussetzungen.
8
2
FOURIER-TRANSFORMATION
Definition 2. Die Fourier-Transformierte fˆ: Rn → C einer Funktion f ∈
L1 (Rn ) ist definiert als
Z
n
fˆ(k) := (2π)− /2
exp (−ik · x) f (x) dn x
(2.10)
Rn
wobei k · x =
Pn
i=1 ki xi
das Standard-Skalarprodukt auf Rn bezeichnet.
Vergleicht man diese Definition mit obiger Rechnung in der eine Funktion ψ(t, x) durch
das k-Integral über eine Funktion ψ̂(t, k) ausgedrückt wurde so stellt man fest, dass
dort genau über „die falsche Variable mit dem falschen Vorzeichen im Exponenten“
integriert wurde. Der Grund dafür ist, dass wir zugunsten der besseren physikalischen
Anschaulichkeit die inverse Fourier-Transformation angewendet haben.
Definition 3. Die inverse Fourier-Transformierte fˇ: Rn → C einer Funktion
f ∈ L1 (Rn ) ist definiert als
n
fˇ(k) := (2π)− /2
Z
exp (+ik · x) f (x) dn k
(2.11)
Rn
wobei k · x =
Pn
i=1 ki xi
das Standard-Skalarprodukt auf Rn bezeichnet.
Um ein Gefühl für das Wesen und die Eigenschaften der Fourier-Transformation zu
entwickeln, betrachten wir im Folgenden zwei Beispiele.
Beispiel. Wir betrachten erneut die bereits mehrfach angesprochene Gauß’sche Glockenkurve mit der Funktionsgleichung
f (x) = 2πσ
2
−n/2
kxk2
exp − 2
2σ
!
(2.12)
Deren Fourier-Transformierte berechnet sich mittels der Definition gemäß
fˆ(k) = (2π)
−n/2
Z
exp (−ik · x)
2πσ
2
−n/2
Rn
= 4π σ
2 2
−n/2 Z
Rn
exp −i
n
X
i=1
!
ki xi
kxk2
exp − 2
2σ
n
1 X
exp − 2
x2
2σ i=1 i
wobei wir die Definitionen des Skalarprodukts k ·x =
Norm kxk =
n
P
i=1
!!
n
P
i=1
dn x
(2.13)
dn x
(2.14)
!
ki xi sowie der Euklidischen
x2i im Rn verwendet haben. Fasst man die Exponentiale zusammen
und schreibt das Exponential der Summe in ein Produkt der Exponentiale um,
9
2
FOURIER-TRANSFORMATION
wobei jeder Exponentialfaktor zum entsprechenden Integral gezogen wird, so ergibt
sich
. . . = 4π σ
2 2
−n/2 Z
exp −
n
X
"
i=1
Rn
x2i
+ iki xi
2σ 2
#!
dn x


"
#!
Z
n
2
−n/2 Y
x
i
 exp −
= 4π 2 σ 2
+ iki xi
dxi 
2
i=1
2σ
(2.15)
(2.16)
R
Integrale dieser Form löst man stets, indem man im Argument der Exponentialfunktion durch quadratische Ergänzung ein vollständiges Quadrat erzeugt
2
x2i
1 2
σ 2 ki2
1 2
2
+
ik
x
=
+
x
+
2
·
x
·
iσ
k
=
x
+
iσ
k
i
i
i
i
i
i
i
2σ 2
2σ 2
2σ 2
2
(2.17)
Setzt man dies ein und substituiert x̃i := xi + iσ 2 ki , so erhält man


!
Z
2 k2
i2
h
σ
1
2
i
 exp −
xi + iσ ki −
dxi 
. . . = 4π σ
2
2σ
2
i=1 R


!
!
n
2 k2 Z
2
−n/2 Y
σ
x̃
i
exp −
= 4π 2 σ 2
exp − i
dx̃i 
2 2
n
−n/2 Y
2
i=1
2σ 2
(2.18)
(2.19)
R
Mit der Formel zur Berechnung von Gauß-Integralen ergibt sich
. . . = 4π 2 σ 2
n
−n/2 Y
√
i=1
= 4π σ
2 2
= (2π)
−n/2 −n/2
2πσ
2
σ 2 ki2
2πσ 2 exp −
2
n/2
!!
n
σ2 X
k2
exp −
2 i=1 i
σ 2 kkk2
exp −
2
(2.20)
!
(2.21)
!
(2.22)
wobei wir im vorletzten Schritt das Produkt von Exponentialen zu einem Exponential einer Summe umgeschrieben haben und anschließend erneut die Definition
der Euklidischen Norm im Rn verwendet haben.
Interessanterweise ist die Fourier-Transformierte einer n-dimensionalen Gauß’schen
Glockenkurve erneut eine Gauß’sche Glockenkurve. Der einzige Unterschied liegt im
Auftreten des Faktors σ 2 wobei σ ein Maß für die Breite der Glockenkurve ist. Man
erkennt, dass eine sehr schmale Glockenkurve in Ortsraum (σ 1 steht im Argument der Ortsraum-Exponentialfuntion im Nenner) einer sehr breiten Glockenkurve
im Impulsraum (σ 1 steht im Argument der Impulsraum-Exponentialfuntion im
Zähler) entspricht.
10
2
FOURIER-TRANSFORMATION
Als zweites Beispiel studieren wir die besonders in der Signalverarbeitung häufig anzutreffende Rechteckfunktion.
Beispiel. Wir betrachten die durch
(
f (x) =
1
0
für |x| < R
für |x| ≥ R
(2.23)
definierte Rechteckfunktion und möchten deren Fourier-Transformierte fˆ(k) bestimmen. Dazu muss zunächst überprüft werden ob f eine L1 (R)-Funktion ist, was aber
trivialerweise erfüllt ist. Aus der Definition der Fouriertransformation ergibt sich
1
fˆ(k) = √
2π
Z∞
−∞
1
exp (−ikx) f (x) dx = √
2π
ZR
exp (−ikx) dx
(2.24)
−R
wobei wir verwendet haben, dass das Integral aufgrund der Definition der Rechteckfunktion außerhalb des Intervalls [−R, R] verschwindet. Integration und Auswertung
an den Grenzen liefert
R
1
1
fˆ(k) = √
exp (−ikx)
2π −ik
−R
1
1
1
=√
− exp (−ikR) + exp (+ikR)
ik
ik
2π
1
2
· [exp (+ikR) − exp (−ikR)]
=√
2πk 2i
(2.25)
(2.26)
(2.27)
Unter Zuhilfenahme der Exponentialdarstellung der Sinusfunktion sin(x) =
1
2i (exp (+ix) − exp (−ix)) ergibt sich schließlich
fˆ(k) =
r
2 sin(kR)
π
k
(2.28)
An dieser Stelle stoßen wir auf eine interessante und bemerkenswerte Tatsache: Obwohl
wir für die ursprüngliche Funktion definitionsgemäß eine L1 (R)-Funktion gewählt haben,
ist deren Fourier-Transformierte fˆ abgesehen von einem Vorfaktor genau die bereits
im Abschnitt über Testfunktionen-Räume besprochene sinc-Funktion, die jedoch keine
L1 (R)-Funktion ist!
2.3 Fourier-Transformation auf S(Rn ) und L2 (Rn )
Im Abschnitt über Testfunktionen-Räume hatten wir bereits gesehen, dass die FourierTransformierte einer Testfunktion aus dem Raum D(Rn ) nicht mehr notwendigerweise
11
2
FOURIER-TRANSFORMATION
in D(Rn ) liegt. Um zu garantieren, dass sowohl die Funktion als auch deren FourierTransformierte im selben Funkionenraum liegen, haben wir den Raum der Testfunktion
D(Rn ) zum Schwartz-Raum erweitert, in dem die Fourier-Transformation ein Automorphismus ist.
Im Gegensatz dazu müssen wir nun den Raum der L1 (R)-Funktionen auf den SchwartzRaum S(Rn ) einschränken um sicherzustellen, dass die Fourier-Transformation ein Automorphismus ist. Neben dieser Tatsache hat der Schwartz-Raum im Gegensatz zum
Lebesgue-Raum L1 (Rn ) zudem die äußerst vorteilhafte Eigenschaft, dass für beliebige
Funktionen f, g ∈ S(Rn ) auch die Produkte f g und f g wieder im Schwartz-Raum liegen.
Dieser Umstand ermöglicht es auf dem Schwartz-Raum durch
hf, gi :=
Z
f¯(x)g(x) dn x
(2.29)
Rn
ein Skalarprodukt zu definieren. Erinnert man sich, dass das Bilden eines Skalarprodukts
als Projektion interpretiert werden kann und vergleicht mit dieser Deutungsweise im
Hinterkopf die Struktur dieses Skalarprodukts mit der Definition der auf den SchwartzRaum S(Rn ) eingeschränkten Fourier-Transformation
Z
n
fˆ(k) := (2π)− /2
exp (−ik · x) f (x) dn x
(2.30)
Rn
so ergibt sich – anders als auf dem Lebesgue-Raum L1 (Rn ) – eine sehr anschauliche Interpretation der Fourier-Transformation: Die Fourier-Transformierte fˆ(k) einer Funktion
f ∈ S(Rn ) ist der Anteil der Funktion f (x) in Richtung der Basisfunktion exp (+ik · x).1
An dieser Stelle ist es wichtig zu realisieren, dass diese Interpretation in Ermangelung
eines Skalarprodukts im Lebesgue-Raum L1 (Rn ) nicht zulässig ist!
2.4 Satz von Plancherel
In unserem eingangs diskutierten Beispiel hatten wir die Fourier-Transformation als
eine Integraltransformation eingeführt mit deren Hilfe es möglich ist, ein mathematisches
Problem in eine andere Darstellung zu übersetzen. Die Existenz eines Skalarprodukts auf
dem Schwartz-Raum S(Rn ) erlaubt es uns die Eigenschaften der Fourier-Transformation
genauer zu studieren. Wir betrachten dazu das Skalarprodukt
hfˆ, ĝi =
Z
fˆ(k)ĝ(k) dn k
(2.31)
Rn
1
Damit diese Interpretation sinnvoll ist muss zunächst gezeigt werden, dass die Basisfunktionen exp (+ik · x) ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. Der Beweis, dass die Funktionen
exp (+ik · x) für unterschiedliche k ∈ Rn im Sinne des oben definierten Skalarprodukts orthogonal
sind wird an späterer Stelle im Zusammenhang mit der Delta-Distribution gezeigt.
12
2
FOURIER-TRANSFORMATION
der Fourier-Transformierten fˆ, ĝ ∈ S(Rn ) zweier Funktionen f, g ∈ S(Rn ) und versuchen
dieses durch das Skalarprodukt hf, gi auszudrücken. Einsetzen der Definition von fˆ(k)
ergibt

... =
Z

Z
(2π)−n/2
Rn
exp (−ik · x) f (x) dn xĝ(k) dn k
(2.32)
n
−n/2
= (2π)
Z ZR
Rn
exp (+ik · x) f¯(x)ĝ(k) dn x dn k
(2.33)
Rn
Da alle Integrale konvergieren, erlaubt es uns der Satz von Fubini die Integrationsreihenfolge zu vertauschen was auf


... =
Z
f¯(x) (2π)
−n/2
Rn
Z
exp (+ik · x) ĝ(k) dn k  dn x
(2.34)
Rn
führt. Nachdem die Fourier-Transformation auf dem Schwartz-Raum S(Rn ) einen Automorphismus darstellt, ist die inverse Fourier-Transformierte der Funktion ĝ(k) aber
gerade die Funktion g(x) woraus sich
... =
Z
f¯(x)g(x) dn x = hf, gi
(2.35)
Rn
ergibt. Die Gleichheit hfˆ, ĝi = hf, gi zeigt, dass die Fourier-Transformation das Skalarprodukt erhält und damit eine unitäre Transformation ist. Daraus folgt automatisch,
dass auch die 2-Normen kf k2 und kfˆk2 im Orts- und Impulsraum gleich sind.
2.5 Algebraisierung der Ableitung
Wie in unserem einleitenden Beispiel aus der Quantenmechanik bereits erwähnt, findet die Fourier-Transformation insbesondere bei der Lösung partieller Differentialgleichungen ihre Anwendung. Dies liegt darin begründet, dass durch die Darstellung einer
Funktion f ∈ C m (Rn ) als Fourier-Integral
−n/2
f (x) = (2π)
Z
exp (+ik · x) fˆ(k) dn k
(2.36)
Rn
partielle Differentialgleichungen in der Variable x in algebraische Gleichungen umgewandelt werden können. Dies kann leicht eingesehen werden, wenn man die Wirkung
des durch
∂ |α|
∂ α :=
(2.37)
∂xα1 1 · · · ∂xαnn
13
2
FOURIER-TRANSFORMATION
definierten Ableitungsoperators auf die Funktion f (x) studiert. Hierbei ist α ∈ Nn0 ein
sogenannter Multiindex mit
|α| :=
n
X
und
αi
k α :=
i=1
n
Y
k αi
(2.38)
i
i=1
Wendet man ∂ α auf die Fourier-Darstellung der Funktion f (x) an, so ergibt sich
∂ α f (x) = (2π)−
n/2
Z
∂ α exp (+ik · x) fˆ(k) dn k
(2.39)
Rn
wobei wir verwendet haben, dass die Ableitungen ohne Umwege direkt ins Integral gezogen werden können und – da fˆ nicht von x abhängt – nur auf den Exponentialfaktor
wirken. Schreibt man das Skalarprodukt im Argument des Exponentialfaktors aus, so
erhält man
!
n
X
∂ |α|
α
∂ exp (+ik · x) =
exp +i
ki xi
(2.40)
∂xα1 1 . . . ∂xαnn
i=1
Schreibt man das Exponential der Summe in ein Produkt von Exponentialen um und
sortiert die einzelnen Faktoren zu den jeweiligen Ableitungen, so ergibt sich
··· =
n
n
Y
Y
∂ αi
∂ |α|
exp
(+ik
x
)
=
exp (+iki xi )
i
i
∂xα1 1 . . . ∂xαnn i=1
∂xαi i
i=1
(2.41)
Führt man alle Ableitungen aus und verwendet die Multiindex-Schreibweise, so verbleibt
··· =
n
Y
(+iki )αi = iα1 k α1 . . . iαn k αn = i|α| k α
(2.42)
i=1
und somit
∂ f (x) = (2π)
α
−n/2
Z
exp (+ik · x) i|α| k α fˆ(k) dn k
(2.43)
Rn
Bildet man nun unter der Annahme ∂ α f ∈ L1 (Rn ) auf beiden Seiten der Gleichung die
Fourier-Transformierte und verwendet den Umkehrsatz, so ergibt sich
α f = i|α| k α fˆ(k)
∂d
(2.44)
Dieses als Algebraisierung der Ableitung bekannte Resultat besagt, dass Fourier-Transformierte
der Ableitung einer Funktion berechnet werden kann, indem man die Fourier-Transformation
der ursprünglichen Funktion bildet und diese mit i|α| k α multipliziert.
2.6 Eigenschaften der Fourier-Transformation
Aus der Definition der Fourier-Transformation als Integral ergeben sich unmittelbar
folgende leicht überprüfbare Eigenschaften:
14
2
FOURIER-TRANSFORMATION
• Linearität
f[
+ g = fˆ + ĝ
(2.45)
• Translation (Verschiebung im Ortsraum)
g(x) := f (x − x0 )
ĝ(k) = exp (−ik · x0 ) fˆ(k)
⇒
(2.46)
• Modulation (Verschiebung im Frequenzraum)
g(x) := exp (ik0 · x)
• Skalierung
g(x) := f
⇒
x
λ
⇒
15
ĝ(k) = fˆ(k − k0 )
ĝ(k) = λn fˆ(λk)
(2.47)
(2.48)
3
FALTUNG
3 Faltung
Eine neben der Fourier-Transformation ebenfalls sehr häufig anzutreffende Operation
ist die Faltung. Genau wie die Fourier-Transformation ist auch die Faltung ein extrem
wichtiges Werkzeug und findet in der Signalverarbeitung, der Mustererkennung und
sogar in der Medizin bei der Erstellung von Tomogrammen ihre Anwendung.
3.1 Motivation: Faltung in der Kosmologie
Trotz ihrer zentralen Rolle in einer Vielzahl von Anwendungen innerhalb und außerhalb
der Physik führt die Faltung oft ein stiefmütterliches Dasein und wird zumeist nur beiläufig im Kontext der Fourier-Transformation eingeführt.
Um die Bedeutung der Faltung zu verstehen, betrachten wir ein Beispiel aus der Kosmologie: Vermisst man die Materieverteilung des Universums so stellt man fest, dass die
Materie auf extrem großen Skalen in sehr guter Näherung homogen und isotrop verteilt
ist. Aus dem Urknall-Modell ergibt sich die Vorhersage, dass trotz der beobachteten
großräumigen Homogenität und Isotropie der Materie in bestimmten aber unbekannten
Abständen gegenüber der mittleren Materiedichte minimal erhöhte Materiedichten auftreten sollten.
Wir modellieren den Materiedichteüberschuss δρ(x) gegenüber der mittleren Materiedichte ρ̄ in einem stark vereinfachten eindimensionalen Beispiel durch eine Rechteckfunktion, die jeweils im Abstand d einen Überschuss aufweist
1
0
für |x − nd| < R
sonst
(
δρ(x) =
(3.1)
wobei n ∈ Z. Um den Abstand d R, in dem der Überschuss auftritt zu bestimmen,
multiplizieren wir die Funktion δρ(x) für verschiedene a ∈ R mit der Rechteckfunktion
1
0
für |x − a| < R
für |x − a| ≥ R
(
f (x − a) =
(3.2)
und integrieren anschließend über ganz R. Da sowohl die Funktion δρ(x) als auch die
Funktion f nur in ganz bestimmen Intervallen von Null verschieden sind, liefert das
Integral über deren Produkt nur dann einen nicht-verschwindenden Wert, falls sich die
Funktionen überlappen. Ob und wie groß diese Überlappung ist hängt dabei maßgeblich
vom gewählten Wert von a ab. Wählt man beispielsweise a = d/2, so nimmt die Funktion
f nur im Intervall (d/2 − R, d/2 + R) einen Wert ungleich Null an. Da die Funktion δρ(x)
aber im Intervall [R, d − R] den Wert Null ergibt, liefert auch das gesamte Integral den
Wert Null. Wählen wir hingegen den Wert a = R, so ergibt sich im Intervall [0, R) eine
16
3
FALTUNG
Überlappung sodass sich für das Integral gemäß
Z
f (x − R)δρ(x) dx =
ZR
dx = R
(3.3)
0
R
der Wert R ergibt. Wählt man a = R/2 so vergrößert sich der Überlappungsbereich und
das Integral liefert gemäß
Z
f (x − R/2)δρ(x) dx =
+Z3R/4
dx =
−3R/4
R
3R
2
(3.4)
den Wert 3R/2. Durch systematische Variation des Wertes für a findet man für a = 0
den maximalen Wert 2R für das Integral. Anschaulich gesprochen bedeutet der sich für
a = 0 ergebende maximale Wert, dass sich die Funktionen f und δρ maximal überlappen.
Berechnet man das Integral für alle a ∈ R, so findet man auch für a = nd mit n ∈ Z für
das Integral den maximalen Wert 2R. Daraus können wir nun schlussfolgern, dass sich
jeweils im gegenseitigen Abstand d ein Materieüberschuss befindet.
3.2 Faltung auf L1 (Rn )
Nachdem wir im ersten Abschnitt die Menge der Funktionen f : Rn → C mit den
Lebesgue-Räumen Lp (Rn ) auf eine sinnvolle Teilmenge eingegrenzt haben, spezialisieren wir uns nun auf den Lebesgue-Raum L1 (Rn ).
Definition 4. Die Faltung f ∗ g zweier Funktionen f, g ∈ L1 (Rn ) ist definiert
als
Z
(f ∗ g) (x) := dn y f (x − y)g(y)
(3.5)
Rn
Die Operation der Faltung ist eng verwandt mit der Kreuz-Korrelation und der Gewichtung, wie folgende Aufgabe zur Gauß’schen Fehleraddition zeigt.
Beispiel. Wir betrachten eine nicht direkt messbare Größe g, die sich aus N direkt
messbaren Größen xi gemäß
g = g(x1 , x2 , . . . , xN )
(3.6)
berechnen lässt. Dabei nehmen wir an, dass die Messgrößen xi statistisch unabhängig und normalverteilt um die Mittelwerte x̄i seien. Um die Abweichung ∆g
der aus den Messgrößen xi = x̄i + ∆xi bestimmten Größe g vom Mittelwert
17
3
FALTUNG
ḡ = g(x̄1 , x̄2 , . . . , x̄N ) zu bestimmen, erinnern wir uns an die aus dem Anfängerpraktikum bekannte Formel für die Gauß’sche Fehlerfortpflanzung
v
u
u
∆g = t
∂g ∆x1
∂x1 x̄i
!2
∂g ∆x2
∂x2 x̄i
+
!2
∂g ∆xN
∂xN x̄i
+ ··· +
!2
(3.7)
Als konkretes Beispiel betrachten wir zwei Stäbe, deren Längen durch Messung zu
`1 = µ1 + σ1 = (1.00 ± 0.03) m
(3.8)
`2 = µ2 + σ2 = (2.00 ± 0.04) m
(3.9)
bestimmt wurden. Möchte man nun wissen wie lange der zusammengesetzte Stab
ist, so steht man vor der Frage wie die Unsicherheiten σ1 und σ2 miteinander zu
verrechnen sind um den Fehler σ des zusammengesetzten Stabes zu erhalten. Obwohl man mit der sogenannten Größtfehlerabschätzung, bei der man im vorliegenden
Fall als Unsicherheit σ einfach die Summe der Fehler σ1 und σ2 angeben würde,
immer auf der sicheren Seite ist, sollte die Unsicherheit σ gefühlsmäßig kleiner als
σ1 + σ2 sein. Dieses Gefühl speist sich aus der Tatsache, dass eine große Unsicherheit nur dann auftritt wenn die Messung an beiden Stäben eine große Abweichung
vom Mittelwert liefert, was aber relativ unwahrscheinlich ist. Erheblich wahrscheinlicher ist es hingegen, bei beiden Messungen kleine bis moderate Abweichungen
vom Mittelwert festzustellen. Die Frage nach der korrekten gegenseitigen Gewichtung der Messunsicherheiten an beiden Stäben entspricht exakt der Interpretation
der Faltung. Modelliert man die gemessene Länge `i (x) der Stäbe durch Gauß’sche
Normalverteilungen
(x − µi )2
`i (x) = q
exp −
2σi2
2πσi2
1
!
(3.10)
mit µ1 = 1.00 m, σ1 = 0.03 m und µ2 = 2.00 m, σ2 = 0.04 m, so ergibt sich daraus
für die Faltung
(`1 ∗ `2 ) (x) =
Z∞
−∞
((x − y) − µ1 )2
dy q
exp −
2σ12
2πσ12
1
!
(y − µ2 )2
q
exp −
2σ22
2πσ22
(3.11)
1
!
Fasst man die Exponentiale zusammen und sortiert im Argument die Terme entsprechend ihrer Potenz von y so erhält man
µ22
1
(x − µ1 )2
... =
exp −
−
2πσ1 σ2
2σ12
2σ22
·
Z∞
−∞
1
dy exp −
2
!
(3.12)
·
1
1
µ1 − x
µ2
+ 2 y2 − 2
− 2 y
2
2
σ1
σ2
2σ1
2σ2
18
(3.13)
3
FALTUNG
µ2
1 −x
Mit den Definitionen a := σ12 + σ12 und b := µ2σ
lässt sich der Ausdruck
2 − 2σ 2
1
2
1
2
durch quadratische Ergänzung im Argument des Exponentials zu
1
(x − µ1 )2
µ22
... =
exp −
−
2πσ1 σ2
2σ12
2σ22
! Z∞
−∞
1
b
dy exp − a y + 2
2
a
2
b2
+2
a
!
(3.14)
umschreiben. Substituiert man anschließend ỹ := y + 2 ab und führt das resultierende
Gauß-Integral über ỹ aus, so erhält man
(x − µ1 )2
µ22
1
exp −
−
... =
2πσ1 σ2
2σ12
2σ22
σ2σ2
· exp 2 2 1 2 2
σ1 + σ2
!
µ1 − x
µ2
− 2
2
2σ1
2σ2
(3.15)
·
2 ! s
2π
σ12 σ22
σ12 + σ22
(3.16)
q
∞
wobei das Gauß-Integral −∞
dx exp −αx2 = απ verwendet wurde. Fasst man
die Vorfaktoren sowie die Exponentiale zusammen und sortiert im Argument der
Exponentiale die Terme entsprechend ihrer Potenz von x, so verbleibt
R
µ1 + µ2
1 (µ1 + µ2 )2
1 x2
+
x
−
... = q
exp − 2
2 σ1 + σ22 σ12 + σ22
2 σ12 + σ22
2π σ12 + σ22
1
(x − (µ1 + µ2 ))2
=q
exp
−
2 σ12 + σ22
2π σ12 + σ22
1
!
(3.17)
!
(3.18)
Wie man unschwer erkennt, ist der Messwert für die Länge der aneinandergelegten
Stäbe ebenfalls
durch eine Gauß’sche Normalverteilung mit µ = µ1 + µ2 = 3.00 m
q
2
und σ = σ1 + σ22 = 0.05 m gegeben. Vergleicht man dieses Ergebnis mit der
Formel für ∆g wobei g durch g(`1 , `2 ) = `1 + `2 gegeben ist, so findet man
∆ (`1 + `2 ) =
q
(∆`1 )2 + (∆`2 )2
(3.19)
was exakt der durch Faltung bestimmten Formel entspricht.
3.3 Eigenschaften der Faltung
Aus der Definition der Faltung als Integral ergeben sich unmittelbar folgende leicht
überprüfbare Eigenschaften:
• Kommutativität
f ∗g =g∗f
19
(3.20)
3
FALTUNG
• Assoziativität
• Distributivität
(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
(3.21)
f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
(3.22)
3.4 Fourier-Transformation der Faltung
20
Dieser Abschnitt
folgt
spätestens am
Donnerstagabend.