4. ¨Ubung zur Quantenmechanik - Institut für Theoretische Physik

Institut für Theoretische Physik
C. Ewerz, E. Thommes
Universität Heidelberg
Sommersemester 2010
4. Übung zur Quantenmechanik
Abgabe der schriftlichen Aufgaben: 11.05.2010
Besprechung der Präsenzaufgaben: 06./07.05.2010
P 12 Spinalgebra und Dichteoperator
(5 Punkte)
Die Komponenten des Spinoperators eines Zwei-Zustand-Systems sind definiert als
Si = 12 ~σ i , wobei σ i die Pauli-Matrizen sind (siehe Aufg. 11). Der Dichteoperator
für ein solches System ist
3
X
1
Pi σ i .
(1)
ρ= ·1+
2
i=1
Zeigen Sie:
(a) det σ j = −1 und tr σ i = 0,
(b) σ 2i = 1, {σ k , σ l } = 2δkl und [σ k , σ l ] = 2iεklmσ m ,
(c) σ k σ l = δkl + iεklm σ m , und damit (~
σ · ~a )(~
σ · ~b ) = ~a · ~b + i~
σ · (~a × ~b ),
(d) hSi i = tr (ρSi ) = ~Pi .
S 13 Spinalgebra im Produktraum
(5 Punkte)
1
Wir betrachten ein System aus 2 Spin- 2 -Teilchen. Der Zustandsraum dieses Systems
ist der Produktraum der Hilberträume der einzelnen Teilchen, H = H1 ⊗ H1 . Der
~ seine Komponenten sind
Operator des Gesamtspins ist Σ,
Σi = Si ⊗ 1 + 1 ⊗ Si .
(2)
Wir bezeichnen die beiden Zustände eines Spin- 12 -Teilchens mit |+i und |−i, wobei
σ 3 |+i = |+i und σ 3 |−i = − |−i. Zeigen Sie, daß
~ 2 = ~S2 ⊗ 1 + 1 ⊗ ~S2 + 2
Σ
3
X
i=1
Si ⊗ Si .
~ 2 auf folgende Zustände:
Berechnen Sie die Wirkung der Operatoren Σ3 und Σ
(a)
(b)
(c)
(d)
|+i ⊗ |+i
|−i ⊗ |−i
1
√ (|+i ⊗ |−i + |−i ⊗ |+i)
2
1
√ (|+i ⊗ |−i − |−i ⊗ |+i) .
2
1
(3)
(5 Punkte)
S 14 Translationsoperator
(a) Im abstrakten Hilbertraum
Der Translationsoperator ist für ~a ∈ R3 definiert als
i ~
T~a = exp − ~a · P ,
~
(4)
wobei P der Impulsoperator ist. Zeigen Sie, daß T~a unitär ist und daß
i
i
i
T~a = exp − a1 P1 exp − a2 P2 exp − a3 P3 .
~
~
~
(5)
Zeigen Sie außerdem, daß T~a die Darstellungseigenschaft besitzt, d. h. daß für
~b ∈ R3
T~a T~b = T~a+~b .
(6)
(b) Im Ortsraum
Im Ortsraum sind die Komponenten des Impulsoperators Pj = −i~ ∂x∂ j . Sei
ψ ∈ L2 (R3 ) unendlich oft differenzierbar. Zeigen Sie daß
T~a ψ(~x) = ψ(~x − ~a) .
(7)
S 15 Kontinuitätsgleichung
Wir betrachten die zeitabhängige Schrödingergleichung
(5 Punkte)
∂
|ψi = H |ψi
∂t
im Ortsraum. Der Hamiltonoperator sei gegeben durch
i~
(8)
~2
∆ + V (~x) ,
(9)
2m
wobei wir annehmen, daß das Potential V reellwertig sei. Das Betragsquadrat der
Wellenfunktion ρ(~x, t) = |ψ(~x, t)|2 kann als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert
werden. Es sei
~ − ψ ∇ψ
~ ∗ .
~ x, t) = ~ ψ ∗ ∇ψ
(10)
J(~
2mi
Zeigen Sie durch Kombination der Schrödingergleichung mit ihrer komplex konjugierten, daß ρ und J~ die Kontinuitätsgleichung
H=−
∂ρ
~ · J~
= −∇
∂t
(11)
erfüllen. Welche Interpretation
hat demzufolge J~ ? Zeigen Sie weiter, daß die GeR
samtwahrscheinlichkeit R3 ρ(~x, t)d3 x zeitlich konstant ist.
Weitere Informationen unter:
http://www.thphys.uni-heidelberg.de/∼ewerz/qm10.html
2