¨Ubungen zur Theoretischen Physik V Quantenmechanik II WS 2004

Übungen zur Theoretischen Physik V
Quantenmechanik II
WS 2004/2005
Prof. H. Büttner
Blatt 3
Abgabe: Donnerstag, den 04.11.2004, bis 14 Uhr
vor Zi. 01.504
Aufgabe 6: Baker-Hausdorff-Formel
Es seien A, B Operatoren auf einem Hilbertraum.
(a) Zeigen Sie, dass
eA Be−A =
∞
X
[A, B]k
k=0
k!
wobei die iterierten Kommutatoren [A, B]k rekursiv durch die Gleichungen [A, B]0 = B und
[A, B]k = [A, [A, B]k−1 ], k ∈ N , definiert sind.
P
(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass ∀ k ∈ N0 : kn=0 nk An B(−A)k−n = [A, B]k )
(b) Zeigen Sie: Gilt [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0, so ist
(i) eA B = (B + [A, B]) eA ,
1
(ii) e(A+B) = eA eB e− 2 [A,B] und
(iii) eA eB = eB eA e[A,B] .
Aufgabe 7: Vorbereitung für Aufgabe 8
Seien A, B Operatoren mit [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 und a(t), b(t) zwei stetig differenzierbare
Funktionen mit den Ableitungen a′ (t) und b′ (t) sowie a(0) = b(0) = 0.
Zeigen Sie, dass die Lösung der Differentialgleichung
dt |Ψi = (a′ (t)A + b′ (t)B)|Ψi
durch
|Ψ(t)i = exp [b(t)B] exp [a(t)A] exp
Z
0
Rt
dτ b(τ )a′ (τ )[A,B]
t
dτ b(τ )a (τ )[A, B] |Ψ(0)i
′
=: T̃ (t, 0) als Zeitentwicklungsoperator begegeben ist. Dabei wird eb(t)B ea(t)A e 0
zeichnet. (Anmerkung: Für den Beweis hilfreich sind die Ergebnisse aus Aufgabe 6.)
Aufgabe 8: Zeitabhängige Störungsrechung
Ein harmonischer Oszillator H0 =
setzt, die durch das Potential
(
~f (t) a† + a
V (t) =
0
p2
2m
+ 21 mω 2 x2 = ~ω a† a +
0≤t≤T
sonst
1
2
wird einer äußeren Kraft ausge-
mit f (t) = −(2~mω)−1/2 D cos(Ωt)
beschrieben wird.
(a) Geben Sie die Bewegungsgleichungen eines Zustandes |Ψi und der Operatoren a, a† sowie
H = H0 + V im Schrödinger-, Heisenberg- und Wechselwirkungsbild (V Störung zu H0 ) an.
(b) Berechnen Sie die Zeitentwicklung eines Zustandes |Ψi im Wechselwirkungsbild, und geben
Sie den Zeitentwicklungsoperator T̃ (t, 0)
an.
Rt
Rt
∗
′
∗
†
(Ergebnis: T̃ (t, 0) = e−F (t)a eF (t)a e− 0 dτ F (τ )F (τ ) , wobei F (t) = −i 0 dτ f (τ )e−iωτ und
F ′ (t) = dt F (t))
(c) Wenn der Oszillator zur Zeit t = 0 im Grundzustand |0i ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit
befindet er sich zur Zeit t > T im n-ten angeregten Oszillatorzustand |ni?
(Gesucht ist also Pn = |hn|T̃ (t, 0)|0i|2 für t > T .)
(d) Berechnen Sie die in c) gesuchte Wahrscheinlichkeit jetzt in erster Ordnung Störungsrechnung,
und vergleichen Sie mit dem Resultat in c).