Übung3

Ludwig-Maximilians-Universität München, Department für Physik
Prof. Dr. D. Lüst
3. Übung zur Quantenmechanik II (T5)
(Abgabe 5.11.2007)
9. Aufgabe: Zeitentwicklungsoperator
In der Vorlesung wurde der Zeitentwicklungsoperator U(t, t0 ) = 1 +
P
∞
(n)
(t, t0 ) eingeführt, wobei für die Terme n-ter Ordnung zwei vern=1 U
schiedene Formeln angegeben wurden,
n Z t
Z t1
Z tn−1
1
(n)
U (t, t0 ) =
dt1
dt2 . . .
dtn H(t1 ) . . . H(tn )
(1)
i~
t0
t0
t0
und
U
(n)
(t, t0 ) =
1
i~
n
1
n!
Z
t
t0
dt1
Z
t
dt2 . . .
t0
Z
t
t0
dtn T H(t1 ) . . . H(tn ) .
(2)
Hierbei wurde der Zeitordnungsoperator T eingeführt. Er ist definiert durch
T A1 (t1 ) · · · An (tn ) = AP (1) (tP (1) ) · · · AP (n) (tP (n) ) ,
(3)
wobei P die Permutation ist, für die gilt tP (1) ≥ · · · ≥ tP (n) . Zeigen Sie
die Gleichheit von (1) und (2) für beliebige n (der Fall n = 2 wurde in der
Vorlesung behandelt).
10. Aufgabe: Wechselwirkungsbild
Lösen Sie im Wechselwirkungsbild die Bewegungsleichungen für die
Operatoren x̂I (t) und p̂I (t) und berechnen Sie die Kommutatoren
[x̂I (t2 ), x̂I (t1 )], [p̂I (t2 ), p̂I (t1 )] und [x̂I (t2 ), p̂I (t1 )] für ein Teilchen der
Masse m in einem eindimensionalen Potential V̂tS (x), das Sie als Störung
annehmen können.
11. Aufgabe: Geladener harmonischer Oszillator
Ein eindimensionaler elektrisch geladener linearer harmonischer Oszillator (Ladung e, Kreisfrequenz ω, Masse m) befinde sich für t < t0
1
im Grundzustand. Zum Zeitpunkt t0 werde ein konstantes elektrisches
Feld E eingeschaltet. Bestimmen Sie in erster Ordnung zeitabhängiger
Störungstheorie die Wahrscheinlichkeiten dafür, den Oszillator nach dem
Einschalten der Störung in seinem n-ten Energieeigenzustand zu finden.
12. Aufgabe: Zweizustandssystem
Betrachten Sie das Zweizustandssystem Ĥ = Ĥ0 +V̂ mit (im Schrödingerbild)
Ĥ0 = E1 |1ih1| + E2 |2ih2| ,
V̂ = γeiωt |1ih2| + γe−iωt |2ih1|
(4)
mit γ und ω reell und positiv, sowie E2 > E1 . Zum Zeitpunkt t = 0
befinde sich das System im tieferen Zustand |1i. Allgemein
P2nimmt der
Zustandsvektor im Wechselwirkungsbild die Form |Ψ(t)i =
n=1 cn (t)|ni
mit c1 (0) = 1 und c2 (0) = 0 an.
a) Bestimmen Sie |c1 (t)|2 und |c2 (t)|2 für t > 0 exakt durch Lösen des
gekoppelten Differentialgleichungssystems für cn (t).
b) Lösen Sie dasselbe Problem in zeitabhängiger Störungstheorie bis zur ersten nicht verschwindenden Ordnung. Vergleichen Sie beide Lösungsansätze
für kleine γ.
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