11. Hausübung zur Quantenmechanik WS 16/17
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11. Hausübung zur Quantenmechanik WS 16/17 Abgabe am Donnerstag, den 26.1.17 in der Vorlesung Aufgabe 30: Zeitabhängige Störungsrechnung im Zweiniveausystem Der ungestörte Hamiltonoperator H eines Zweiniveausystems, die ungestörten Zustände |1i, |2i und die zeitabhängige Störung V (t) seien gegeben durch: ε1 0 1 0 , |1i = , |2i = , H= 0 ε2 0 1 0 λ cos ωt , λ reell und klein. V (t) = λ cos ωt 0 Zum Zeitpunkt t = 0 befinde sich das System im Zustand |1i. Berechne mit zeitabhängiger Störungsrechnung erster Ordnung die Wahrscheinlichkeit, das System zur Zeit t im Zustand |2i zu finden! Was passiert, wenn ε1 − ε2 ≈ ±~ω ist? (6 Punkte) Aufgabe 31: Wasserstoffatom im Kondensator Ein Wasserstoffatom befinde sich für t < 0 im Grundzustand |1, 0, 0i. Zum Zeitpunkt t = 0 werde ein homogenes elektrisches Feld in z-Richtung eingeschaltet, dessen Stärke mit der Zeit exponentiell abfällt: 0 für t < 0 E= −t/τ E0 e ez für t ≥ 0. Wie lautet das Störpotential V ? Berechne für t τ mit zeitabhängiger Störungsrechnung erster Ordnung die Wahrscheinlichkeiten, das Atom in den drei 2pZuständen |2, 1, 1i, |2, 1, 0i und |2, 1, −1i zu finden! Was ergibt sich für die Übergangswahrscheinlichkeit in den 2s-Zustand |2, 0, 0i ? (6 Punkte) Aufgabe 32: Photoionisation des Wasserstoffs Betrachte das Wasserstoffatom im Grundzustand unter Einfluss einer zeitabhängigen äußeren Störung V (t) = 2V0 sin ωt, V0 = e0 Ez . Die Grundzustandswellenfunktion lautet bekanntlich hx|0i = √ 1 e−r/a . πa3 Die Endzustände sollen ebene Wellen im endlichen Volumen V sein: hx|ki = √1 eihk,xi . Berechne unter Verwendung der Formel V wif = 2π ρ(k)|hi|V |f i|2 ~ die Übergangswahrscheinlichkeiten pro Zeiteinheit dw/dΩ für die Anregungen eines Elektrons in einen Zustand, in dem der Betrag seines Impulses gleich k ist und in dem es im Raumwinkel dΩ = sin ϑdϑdϕ gefunden wird! Hierbei sind hi|V |f i die Übergangsmatrixelemente, und ρ(k) ist die Zustandsdichte. (6 Punkte)
