11. Hausübung zur Quantenmechanik WS 16/17

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11. Hausübung zur Quantenmechanik
WS 16/17
Abgabe am Donnerstag, den 26.1.17 in der Vorlesung
Aufgabe 30: Zeitabhängige Störungsrechnung im Zweiniveausystem
Der ungestörte Hamiltonoperator H eines Zweiniveausystems, die ungestörten
Zustände |1i, |2i und die zeitabhängige Störung V (t) seien gegeben durch:


 
 
ε1 0
1
0
 , |1i =   , |2i =   ,
H=
0 ε2
0
1


0
λ cos ωt
 , λ reell und klein.
V (t) = 
λ cos ωt
0
Zum Zeitpunkt t = 0 befinde sich das System im Zustand |1i. Berechne mit
zeitabhängiger Störungsrechnung erster Ordnung die Wahrscheinlichkeit, das System zur Zeit t im Zustand |2i zu finden! Was passiert, wenn ε1 − ε2 ≈ ±~ω
ist?
(6 Punkte)
Aufgabe 31: Wasserstoffatom im Kondensator
Ein Wasserstoffatom befinde sich für t < 0 im Grundzustand |1, 0, 0i. Zum Zeitpunkt t = 0 werde ein homogenes elektrisches Feld in z-Richtung eingeschaltet,
dessen Stärke mit der Zeit exponentiell abfällt:

 0
für t < 0
E=
−t/τ
 E0 e
ez für t ≥ 0.
Wie lautet das Störpotential V ? Berechne für t τ mit zeitabhängiger Störungsrechnung erster Ordnung die Wahrscheinlichkeiten, das Atom in den drei 2pZuständen |2, 1, 1i, |2, 1, 0i und |2, 1, −1i zu finden! Was ergibt sich für die Übergangswahrscheinlichkeit in den 2s-Zustand |2, 0, 0i ?
(6 Punkte)
Aufgabe 32: Photoionisation des Wasserstoffs
Betrachte das Wasserstoffatom im Grundzustand unter Einfluss einer zeitabhängigen äußeren Störung
V (t) = 2V0 sin ωt,
V0 = e0 Ez .
Die Grundzustandswellenfunktion lautet bekanntlich hx|0i =
√ 1 e−r/a .
πa3
Die Endzustände sollen ebene Wellen im endlichen Volumen V sein: hx|ki =
√1 eihk,xi . Berechne unter Verwendung der Formel
V
wif =
2π
ρ(k)|hi|V |f i|2
~
die Übergangswahrscheinlichkeiten pro Zeiteinheit dw/dΩ für die Anregungen eines Elektrons in einen Zustand, in dem der Betrag seines Impulses gleich k ist und
in dem es im Raumwinkel dΩ = sin ϑdϑdϕ gefunden wird! Hierbei sind hi|V |f i die
Übergangsmatrixelemente, und ρ(k) ist die Zustandsdichte.
(6 Punkte)
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